Externalidades de consumo en el análisis de equilibrio parcial

Question

He estado trabajando en un problema estándar de equilibrio parcial con externalidades y he tenido algunas dificultades con estos conceptos (relativamente) básicos. Mi problema es principalmente con la resolución de la optimalidad de Pareto y la comparación con un resultado competitivo.

$$u^A(y_A, x_A, x_B)=y_A+\ln x_A+\frac{x_B^2}{2}$$ $$u^B(y_B,x_A,x_B)=y_B+\ln x_B-x_A $$

Resolver la CE es bastante sencillo utilizando el método de normalización de precios de $(p_x,p_y)=(p,1)$ $$\max_{x_A,y_A} \mathcal{L}=y_A+\ln x_A+\frac{x_B^2}{2}+\lambda_A(m-px_A-y_A)$$ $$\max_{x_B,y_B} \mathcal{L}=y_B+\ln x_B-x_A+\lambda_B(m-px_B-y_B)$$ La asignación de bienes en cantidades CE de $x_A, x_B$ en este contexto es: $$\{x_A^*,x_B^*\}=\left\{\frac{1}{p},\frac{1}{p}\right\}$$

Además para la asignación óptima de pareto resolvemos:

$$\max_{x_A,x_B,y_A,y_B} u^A(y_A, x_A, x_B)+u^B(y_B,x_A,x_B)$$ $$\max_{x_A,x_B,y_A,y_B} \{y_A+\ln x_A+\frac{x_B^2}{2}+y_B+\ln x_B-x_A\}$$ Resolver para $x_A$ es bastante sencillo a través del BDC, tenemos: $$x_A^{**}=1$$ para tratar con $x_B$ hay dificultades como: $$x_B+\frac{1}{x_B}=0$$ donde la resolución nos da $$x_B=\sqrt{-1}$$ que no tiene sentido.

Definitivamente estoy haciendo algo mal, pero no puedo entenderlo.

Answer 1

Sin ninguna restricción, el planificador social establecería $x_B \rightarrow \infty$ y no resolver la "condición de primer orden" dada por $x_B+1/x_B=0$ sólo es válida para una solución interna. El problema centralizado no es comparable con los problemas descentralizados con restricciones presupuestarias que has resuelto. (Por cierto, ¿por qué debería $m$ sea el mismo para ambos consumidores).