Resumen
Sí, el precio de mercado derivado de los momentos del SDF es negativo. Los activos pagan rendimientos elevados (son arriesgados) si se correlacionan negativamente con el FAD (y, por tanto, se correlacionan positivamente con los ciclos económicos). Recuerde que el FAD es alto en las recesiones.
Para diferentes especificaciones del SDF (por ejemplo, C-CAPM), obtenemos un precio de mercado positivo del riesgo de consumo más intuitivo. El CAPM estándar da un precio de mercado positivo del riesgo derivado de la cartera de mercado.
¿Qué mide el factor de descuento estocástico?
En la mayoría de los modelos basados en el consumo, el FAD está relacionado con la utilidad marginal: si la utilidad marginal es alta, también lo es el FAD. ¿Cuándo es alta la utilidad marginal? En los malos estados de la naturaleza (recesiones), cuando el nivel de consumo es bajo. La utilidad marginal es una especie de hambre de los inversores y si el consumo es bajo, la gente valora mucho el consumo. Por supuesto, la utilidad marginal disminuye con los niveles de consumo (¡las funciones de utilidad son cóncavas!). Si la economía está en auge, el FAD es bajo.
Básicamente, si $\mathbb{C}\text{ov}\left(R,M\right)>0$ En este caso, los rendimientos de su activo covarían negativamente con los ciclos económicos y el estado general de la economía. Eso es lo contrario de un activo de riesgo y da lugar, con razón, a rendimientos esperados negativos.
Intuición económica
¿Cuándo un activo tiene una alta rentabilidad? Cuando es muy arriesgado. Un activo es arriesgado si paga mucho cuando la utilidad marginal es alta y si no paga nada (o tiene una rentabilidad negativa) si la utilidad marginal es baja.
El mejor ejemplo son las acciones: cuando la economía está en auge y te va bien en tu trabajo, obtienes altos dividendos. Pero cuando la economía se hunde, pierdes tu trabajo y necesitas dinero, entonces tu cartera de acciones también pierde valor y estás peor. Por lo tanto, la rentabilidad de las acciones y el FAD se correlacionan negativamente.
Los seguros, en cambio, te pagan mucho cuando tu casa se acaba de quemar y tu utilidad marginal es alta y realmente necesitas un consumo extra. Sus rendimientos se correlacionan positivamente con el FAD.
Como ve, las acciones tienen altas primas de riesgo y los seguros suelen tener rendimientos esperados negativos.
Primas de riesgo y Betas
En tiempo discreto tenemos \begin {align*} 1= \mathbb {E}_t[M_{t+1}R_{i,t+1}] &= \mathbb {E}_t[M_{t+1}] \mathbb {E}_t[R_{i,t+1}]+ \mathbb {C} \text {ov}_t \left (R_{i,t+1},M_{t+1} \right ) \\ \implies\hspace {1cm} \mathbb {E}_t[R_{i,t+1}]-R_{f,t} &= -R_f \mathbb {C} \text {ov}_t \left (R_{i,t+1},M_{t+1} \right ) \\ \implies\hspace {1cm} \mathbb {E}_t[R_{i,t+1}]-R_{f,t} &= \frac { \mathbb {C} \text {ov}_t \left (R_{i,t+1},M_{t+1} \right )}{ \mathbb {V} \text {ar}_t \left [M_{t+1} \right ]} \cdot\left (- \frac { \mathbb {V} \text {ar}_t \left [M_{t+1} \right ]}{{ \mathbb {E}_t \left [M_{t+1} \right ]}} \right ) = \beta_ {i,t}^M \cdot\lambda_ {t}^M, \end {align*} donde efectivamente el precio de mercado del riesgo $\lambda_t^M<0$ es negativo.
Si prefieres el tiempo continuo, \begin {align*} \mathbb {E}_t[ \text {d}R_{i,t}]-r_{f,t} \text {d}t = - \mathbb {C} \text {ov}_t \left ( \text {d}R_{i,t}, \frac { \text {d} \Lambda_t }{ \Lambda_t } \right )= \frac { \mathbb {C} \text {ov}_t \left ( \text {d}R_{i,t}, \frac { \text {d} \Lambda_t }{ \Lambda_t } \right )}{ \mathbb {V} \text {ar}_t \left [ \frac { \text {d} \Lambda_t }{ \Lambda_t } \right ]} \cdot \left (- \mathbb {V} \text {ar}_t \left [ \frac { \text {d} \Lambda_t }{ \Lambda_t } \right ] \right )= \beta_ {i,t}^ \Lambda \lambda_t ^ \Lambda , \end {align*} donde de nuevo $ \lambda_t^\Lambda<0$ .
Estas ecuaciones tienen varias implicaciones importantes. La más importante es que sólo covarianza con el SDF tiene un precio (contribuye a la prima de riesgo). A menudo se denomina riesgo sistemático. La varianza idiosincrática no tiene prima y no tiene precio. Por lo tanto, una acción volátil no tiene por qué ofrecer necesariamente una alta rentabilidad.
Consumo CAPM
En el marco de la utilidad de la energía, el FOC de un agente da lugar a $M_{t+1}=\beta\left(\frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)}\right)=\beta \left(\Delta c_{t+1}\right)^{-\gamma}$ donde $\beta<1$ es el factor de descuento subjetivo y $\gamma>0$ es el coeficiente de aversión al riesgo. Así pues, $M_{t+1}$ es alto es el consumo marginal es alto y los niveles de consumo son bajos.
En tiempo continuo, si suponemos $c_t$ sigue un movimiento browniano geométrico, \begin {align*} \mathbb {E}_t[ \text {d}R_{i,t}]-r_{f,t} \text {d}t = - \mathbb {C} \text {ov}_t \left ( \text {d}R_{i,t}, \frac { \text {d} \Lambda_t }{ \Lambda_t } \right )= \gamma\mathbb {C} \text {ov}_t \left ( \text {d}R_{i,t}, \frac { \text {d}c_t}{c_t} \right ). \end {align*}
Esto motiva la siguiente aproximación para el tiempo discreto \begin {align*} \mathbb {E}_t[R_{i,t+1}]-R_{f,t} &= \gamma\mathbb {C} \text {ov}_t \left (R_{i,t+1}, \Delta c_{t+1} \right ), \end {align*}
Así que, de nuevo, si su activo tiene altos rendimientos cuando el crecimiento del consumo es alto, su activo es arriesgado y, por tanto, tiene altos rendimientos. Los rendimientos de su activo son procíclicos. Por otro lado, si los rendimientos del activo se relacionan negativamente con el crecimiento del consumo, su activo actúa como un seguro y tiene rendimientos bajos.
Considere la $\beta$ representación de la C-CAPM, \begin {align*} \mathbb {E}_t[R_{i,t+1}]-R_{f,t} &= \frac { \mathbb {C} \text {ov}_t \left (R_{i,t+1}, \Delta c_{t+1} \right )}{ \mathbb {V} \text {ar}_t \left [ \Delta c_{t+1} \right ]} \cdot\left ( \gamma \mathbb {V} \text {ar}_t \left [ \Delta c_{t+1} \right ] \right )= \beta_ {i,t}^c \cdot\lambda_t ^c, \end {align*} donde el el precio de mercado del riesgo de consumo es positivo , $\lambda_t^c>0$ . También, $\lambda_t^c$ es mayor si la incertidumbre es alta ( $\mathbb{V}\text{ar}_t\left[\Delta c_{t+1}\right]$ es alta) y si a la gente le disgusta mucho el riesgo ( $\gamma$ es alta)
