¡Pregunta de cálculo básico aquí! Empecé a leer el libro de texto Borjas, G. J. (2014). Economía de la inmigración. Harvard University Press y estoy confundido ya con el primer resultado.
Antecedentes : Enmarca la decisión de emigrar en términos de diferencias salariales entre dos países $i \in \{0,1\}$ en cada país (el hogar es 0) $$ log (w_i) = \mu_i + v_i $$ donde $\mu_i$ es el salario medio en el país de origen y en el destino potencial y $v_i $ es una variable aleatoria i.i.d distribuida normalmente con media 0 y varianza $\sigma^{2}$ . Si $i=1$ es el país de destino, entonces el emigrante pagará un coste $C$ para trasladarse allí.
Cálculo : Bien, el álgebra simple es entonces combinar estos elementos en un índice
$$ I = log \left(\frac{w_1}{w_0+C} \right) \approx (\mu_1 - \mu_0 - \pi) + (v_1 - v_0) $$ con $\pi = C/w_0$ .
Pasos : Así que hice algunas manipulaciones de registro (ver más abajo) y creo que llego a esto si el $log\left(1+\frac{C}{w_0}\right) \approx log\left(\frac{C}{w_0}\right)$ . ¿Es una aproximación lo que se hace? En caso afirmativo, ¿tiene antecedentes de por qué? ¿O la simplificación es diferente? $$ log \left(\frac{w_1}{w_0+C} \right) = log (w_1) - log(w_0+C) + log(w_0) - log(w_0) = log (w_1) - log(w_0) - log\left(1+\frac{C}{w_0}\right) = e^{log(\mu_1 + v_1)} - e^{log(\mu_0 + v_0)} - e^{log\left(1+\frac{C}{w_0}\right)} \approx (\mu_i - \mu_i - \pi) + (v_1 - v_0) $$
