Factor de descuento en el modelo de Hull-White

Question

Considera un modelo de Hull-White

$dr(t)=\left(\theta(t)-a(t) r(t)\right) dt + \sigma dW(t)$

con parámetros

• $a=0.1$
• $\sigma=0.3$
• $\theta(t)$ fue calibrado para que coincida
  • $P(0,t)=\exp(-\mu t)$
  • con: $\mu=0.2$

En el tiempo $t=0$ el factor de descuento forward es:

$P(0,t,T) = \exp (-\mu (T-t))$

Por ejemplo $P(0,5,10)=\exp(-0.2\times (10-5))\approx 0.37$

Puedo calcular este factor de descuento también en el modelo HW (el factor de descuento dependerá de la tasa observada $r(t)$) en el tiempo $t=5$ con la fórmula:

$P(t,T)=\exp\left(A(t,T)-B(t,T) r(t)\right)$

Si lo hago (con $t=5$ y $T=10$ a continuación), obtengo:

• $\mathbb{E}\ r(5)=0.9$
• $A(5,10)=-2.4$
• $B(5,10)=3.9$
• $P(t,T)=\exp(-2.4 - 3.9 \times 0.9)=0.003$

Ahora me pregunto: ¿es este resultado correcto? ¡El factor de descuento entre $t=5$ y $T=10$ se redujo de $0.36$ a $0.003$! Por supuesto, no tengo números muy realistas (si $t$ está en años, entonces en $t=5$ la tasa de interés es del 90% por año), pero tal vez estoy entendiendo mal cómo usar las fórmulas?!

¡Muchas gracias de antemano!

Answer 1

Un buen consejo cuando se trata del modelo Hull-White es nunca trabajar directamente con la tasa corta $r(t)$. Normalmente será bastante inestable y dependerá de la interpolación en la curva de rendimiento. En su lugar, introduce la nueva variable $$ x(t) = r(t) - f(0,t), $$ donde $f(0,t)$ es la tasa forward instantánea en el tiempo $t$ vista desde el tiempo $0$. Al reescribir el modelo Hull-White en esta variable, las únicas cantidades que necesitarás de la curva de rendimiento para fijar el precio del bono $P(t,T)$ son el factor de descuento de mercado hasta $t$ y $T$.

Aquí, el libro "Interés Rate Modeling" volumen II de L. Andersen and V. Piterbarg es una excelente referencia.

Answer 2

Cuando uses $E[r(t)]$, debes incluir un término adicional para garantizar la condición de no arbitraje.

Intenta usar $r(t)$ simulado y calcular la esperanza de $P(t,T)$ porque $P(t,T)$ es una variable aleatoria. ($N$ = número de simulación)

$$ P^1 (t,T) = \exp(A(t,T) - B(t,T)r^1(t)) $$ $$ P^2 (t,T) = \exp(A(t,T) - B(t,T)r^2(t)) $$ $$ ... $$ $$ P^N (t,T) = \exp(A(t,T) - B(t,T)r^N (t)) $$

$$ E[P (t,T)] = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} P^i (t,T) $$