Cobertura delta: valor teórico frente a precio real

Question

Una forma de derivar la EDP de Black-Scholes es mediante el argumento de la cobertura Delta:

Supongamos que $V_t = V(t, S_t)$ para alguna función $V: [0,T] \times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ . Construimos una cartera comprando una unidad del derivado y vendiendo en corto $\frac{\partial V}{\partial S}(t, S_t)$ unidades de la acción subyacente. Por lo tanto, la cartera tiene valor $\Pi_t= V(t, S_t) - \frac{\partial V}{\partial S}(t, S_t) S_t$ y, por tanto, por la propiedad de autofinanciación y la fórmula de Ito, $$ d \Pi_t = dV_t - \frac{\partial V}{\partial S}(t, S_t) \,dS_t = \bigg(\frac{\partial V}{\partial t}(t, S_t) + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}(t, S_t) \bigg) \,dt. $$ Esto nos permite derivar la EDP de Black-Scholes: $$\frac{\partial V}{\partial t} + rS \frac{\partial V}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} = r V.$$

Sin embargo, observo una cosa extraña en este argumento:

La cartera de cobertura Delta se construye con una unidad del derivado, cuya función de precio $V$ fluctúa en función del precio real de mercado de ese derivado, es decir, el valor comprometido tras un diferencial entre oferta y demanda en la negociación. Sin embargo, el objetivo de este argumento es encontrar una EDP para $V$ . Por lo tanto, este argumento parece suponer que la función de valor teórica (también denotada por $V$ ) es la misma que la función del precio real en el mercado. ¿He confundido algo en este argumento? ¿Alguna idea?

Answer 1

Hacienda trata esto exactamente igual que las compañías de tarjetas de crédito.

Tiene una fecha y una hora de vencimiento. Si vas al sitio web, rellenas el formulario de pago en línea, pulsas el botón y obtienes un número de confirmación antes de que el reloj llegue a la hora especificada, entonces se considera que has pagado.

Los sitios de pago con tarjeta de crédito dirán cosas como "los pagos enviados después de las 5 de la tarde, hora del este, se consideran pagos del día siguiente". Puede que el dinero tarde minutos o días en pasar a su cuenta después de que usted pulse el botón, pero su pago se sigue considerando puntual.

Para Hacienda esto es similar a la forma en que utilizan el matasellos para los documentos enviados por correo. Antes de que todo el mundo pagara en línea solía haber una larga cola de coches frente a la oficina de correos para dejar los formularios después de las 11 de la noche. En las grandes ciudades cogían las cartas y las metían en una caja grande lo más rápido que podían. La oficina de correos cerraba el buzón a medianoche y luego, entre bastidores, se pasaba las horas siguientes poniendo un matasellos a mano que seguía diciendo 15 de abril.