Estimador de extremos (¿posiblemente tobit?)

Question

Esta pregunta está relacionada con los estimadores de extremos. Quiero proponer un estimador que creo que puede ser un estimador Tobit, pero no estoy seguro. La pregunta es la siguiente:

Dejemos que $z$ sea una variable aleatoria con una FCD estrictamente creciente $F( \dot ) $ por todas partes en su soporte. La mediana de $Z$ , $\gamma$ se define como:

$ \int _{-\infty, \gamma} dF(z) > \frac{1}{2}$ ; $ \int _{\gamma, \infty} dF(z) > \frac{1}{2}$

Se sabe que $\gamma$ minimiza un criterio de desviación absoluta esperada: $\gamma = argmin_e E(|Z-e| - |Z|)$ .

Consideramos un modelo $Y=max\{c, f(X; \theta)+\epsilon\}$ donde c es una constante conocida y la mediana condicional de $\epsilon$ dado $X$ es 0. Supongamos que tenemos una muestra i.i.d $\{X_i, Y_i\}$ que genera este modelo.

1) Proponer un estimador de extremos para $\theta$ .

En este caso, estaba pensando que un modelo Tobit sería apropiado ya que el modelo está truncado por la constante $c$ .

2) Demuestre que el estimador que ha propuesto es consistente.

Answer 1

En primer lugar, no se trata de un estimador de tipo Tobit. Un estimador Tobit es un estimador de máxima verosimilitud, que se basa en una especificación completa de la distribución del error. Usted tiene sólo la mediana especificada, por lo que no puede ser un MLE.

¿Qué podemos hacer? Para empezar, hay que tener en cuenta que, para una variable aleatoria $Z$ la mediana de $\max(c,Z)$ es $\max(c, \mathrm{med}(Z))$ lo que se puede demostrar utilizando la definición de la mediana.

Así, para su problema, tiene $$\mathrm{med}(y|X) = \max(c, f(X,\theta))$$ bajo el supuesto de que $\mathrm{med}(\epsilon|X)=0$ . Un estimador natural del extremo sería el minimizador de $$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |y_i - \max(c, f(X_i,\theta)) |.$$ Ha definido la mediana como el minimizador de $E(|Z-e|-|Z|)$ pero esto es lo mismo que el minimizador de $E|Z-e|$ sin $-|Z|$ Así que dejé de lado el " $-|y_i|$ "de la función objetivo.

Se trata de una generalización de Powell (1984), Estimador de las mínimas desviaciones absolutas para el modelo de regresión censurado, Revista de Econometría , 25, 303-325. Consulte el documento para obtener más detalles, incluida la coherencia. https://web.stanford.edu/~doubleh/eco273/powell1984.pdf