Me gustaría pronosticar la varianza en la longitud del tiempo $k\delta$ basado en una serie temporal de precios (rendimientos) de longitud de paso de tiempo $\delta$ . Aplicaré un modelo GARCH(1,1) a submuestras con intervalos de tiempo de longitud $k\delta$ en una serie temporal de rentabilidad de las acciones $\big(r(i\delta,(i+1)\delta)\big)_{i=0}^I$ cada uno de cuyos elementos es el retorno entre el tiempo $i\delta$ y $(i+1)\delta$ . Tomo la fórmula de recursión como $$h(t,t+k\delta) = c+a\,u(t-k\delta,t)^2 +b\,h(t-k\delta,t) \tag1$$ donde $h(t-k\delta,t)$ es la varianza estimada para el y $r(t-k\delta,t)$ es el rendimiento para el intervalo de tiempo $(t-k\delta,t)$ . Me gustaría utilizar la serie temporal completa de rendimientos para la ecuación (1).
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¿Es correcto utilizar la siguiente estimación de la varianza para el intervalo de tiempo $(t-k\delta,t)$ ? $$u(t-k\delta,t)^2 := \sum_{i=1}^k r\big(t-i\delta,r-(i-1)\delta\big)^2.$$ Esto se sustituye en el optimizador de máxima verosimilitud como la varianza para el intervalo de tiempo $(t-k\delta,t)$ en lugar del estimador simple habitual $r(t-k\delta,t)^2$ . $\big(u(jk\delta,(j+1)k\delta)\big)_{j=0}^{q-1}$ forma una nueva serie temporal. Su probabilidad gaussiana logarítmica negativa $$l(a,b,c):=\sum_{j=0}^{q-1} \bigg( \frac{u(jk\delta,(j+1)k\delta)^2}{h(jk\delta,(j+1)k\delta)}+\ln h(jk\delta,(j+1)k\delta)\bigg).$$
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¿Tengo que usar algo como el núcleo realizado tal y como se construye en Núcleos realizados en la práctica: Trades and Quotes, por Ole E. Barndorff-Nielsen, Peter R. Hansen, Asger Lunde y Neil Shephard ?
