Ecuación diferencial estocástica de un movimiento browniano

Question

Tengo dos preguntas sobre el Lemma de Ito con respecto al cálculo de SDEs. Los ejemplos son bastante simples, pero no he encontrado una respuesta todavía.

Toma $W_t$ como un movimiento browniano estándar y $g(s)$ como alguna función de $s$ . Supongamos que se cumplen todas las regularidades, etc. y tomemos $F$ como alguna función. Sé que si $F = \int_0^tg(s)dW_s$ entonces la SDE correspondiente es $dF = g(t)dW_t$ . Sin embargo, aplicando el Lemma de Ito, no estoy seguro de cómo se deriva esta SDE. No estoy seguro de la siguiente parte:

• $dF = \underbrace{\frac{\partial F}{\partial t}}_{=g(t)dW_t}dt + \underbrace{\frac{\partial F}{\partial W_t}}_{=g(t)}dW_t + \underbrace{\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial W_t^2}}_{=0}dt = g(t)dW_tdt + g(t)dW_t = g(t)dW_t$

Pregunta 1: es $\frac{\partial F}{\partial t} = g(t)dW_t$ ¿correcto? ¿O debería ser cero?

Ahora toma $F=\int_0^tW_s^2dW_s$ . Mi enfoque sería:

• $dF = \underbrace{\frac{\partial F}{\partial t}}_{=W_t^2dW_t}dt + \underbrace{\frac{\partial F}{\partial W_t}}_{=W_t^2}dW_t + \underbrace{\frac{1}{2}\frac{\partial^2 F}{\partial W_t^2}}_{=W_t}dt = W_t^2dW_t+W_tdt$

Pregunta 2: ¿Son correctas las derivadas parciales del ejemplo anterior?

Answer 1

En el cálculo estocástico, sólo se definen las integrales estocásticas. La forma diferencial es sólo una notación. Es decir, $$dF=g(t)dW_t$$ es sólo otra expresión para la integral $$F=\int_0^t g(s) dW_s.$$ Véase, por ejemplo, en este libro o este libro todos los lemas de Ito se expresan en formas integrales.

Para su pregunta, tenga en cuenta que $F$ no es una función de $t$ y $W_t$ es decir, no es de la forma $F(t, W_t)$ . De hecho, depende de toda la trayectoria de $W_s$ de $0$ a $t$ . Entonces el lema de Ito no puede aplicarse a $F$ . La aplicación de sus dos preguntas es incorrecta.