Estoy leyendo el libro de Shreve Cálculo estocástico para finanzas II . En la página 191, ejercicio 4.6, se nos plantea el problema
Ejercicio 4.6 . Sea $S(t)=S(0)\exp\Big \{\sigma W(t)+(\alpha-\frac{1}{2}\sigma^2)t\Big\}$ sea un movimiento geométrico browniano geométrico. Sea $p$ sea una constante positiva. Calcule $\mathrm{d}(\{S(t)\}^p)$ , el diferencial de $S(t)$ elevado a la potencia de $p$ .
Los detalles de cómo resuelvo este problema no son demasiado relevantes para la pregunta, así que el lector puede saltar a la pregunta .
Resolver el problema
Puedo resolver este problema con una aplicación directa de la fórmula Itô-Doeblin (página 138). Reproduzco aquí esa fórmula para completarla.
Teorema 4.4.1 (Fórmula de Itô-Doeblin para el movimiento browniano). Dejemos que $f(t, x)$ sea una función cuyas derivadas parciales $f_t(t, x)$ , $f_x(t, x)$ y $f_{xx}(t, x)$ están definidos y son continuos, y dejemos que $W(t)$ sea un movimiento browniano. Entonces, para cada $T\geq0$ ,
$$f(T, W(T)) = f(0,W(0)) + \int^{T}_0 f_t(t, W(t)) \mathrm{d}t + \int^{T}_0 f_x(t, W(t))\mathrm{d}W(t)+\frac{1}{2}\int^T_0f_{xx}(t, W(t))\mathrm{d}t\text{.}\tag{1}$$
Definimos
$$f(t, x) = \Big( S(0)e^{\sigma x + (\alpha-\frac{1}{2}\sigma^2)t}\Big)^p\text{.}\tag{2}$$
Entonces aplicamos directamente el Teorema 4.4.1 para obtener \begin {align} \mathrm {d}f(t, W(t)) = \mathrm {d}(\{S(t)\}^p) &= pS(0)^p( \alpha +( \frac {p-1}{2}) \sigma ^2) e^{p( \sigma W(t)+( \alpha - \frac {1}{2} \sigma ^2)t)} \mathrm {d}t + pS(0)^p( \sigma )e^{p( \sigma W(t)+( \alpha - \frac {1}{2} \sigma ^2)t)} \mathrm {d}W(t) \\ &= pS(t)^p \Big [ \sigma \mathrm {d}W(t) + ( \alpha + \frac {p-1}{2}) \mathrm {d}t \Big ] \tag {3} \end {align}
o, para decirlo en forma integral,
$$\int_0^T (S(t))^p \mathrm{d}t = \int_0^T pS(t)^p\sigma \mathrm{d}W(t) + \int_0^T pS(t)^p(\alpha + \frac{p-1}{2})\mathrm{d}t\text{.}\tag{4}$$
La pregunta
Las matemáticas de la solución anterior tienen sentido, y creo que esta solución coincide con la intención del autor. Sin embargo, no veo por qué el trabajo anterior ha sido productivo. Cuando "computo" algo, me imagino que se ejecuta un algoritmo para resolver un problema (tal vez sólo aplicar la fórmula de Itô-Doeblin fue el "cómputo"), o, en la mayoría de los casos, poner un problema en una "forma cerrada" donde los algoritmos conocidos pueden entonces resolverlo. A menudo se simplifica una fórmula para eliminar las partes complicadas.
No veo por qué he terminado cuando escribo la línea $(4)$ . No estoy seguro de cómo calcularías $(4)$ o alguna vez usar $(4)$ . No estoy seguro de por qué $(4)$ es una forma mejor que escribir simplemente $\mathrm{d}\{S(t)\}^p)$ . Suponiendo que tuvieras algún interés en $\mathrm{d}\{S(t)\}^p)$ ¿Cómo se puede utilizar $(4)$ ? ¿Cuáles serían las entradas? ¿Cuáles serían las salidas? ¿Se utilizaría con un ordenador o sólo con papel y lápiz? ¿Hay algún uso de esta fórmula que no sea simplemente obtener una distribución de $\mathrm{d}\{S(t)\}^p)$ para el tiempo $t$ cuando tenga toda la información hasta $t-1$ ? Además, el libro sugiere integrales con respecto a $\mathrm{d}t$ son integrales "sólo de Lebesgue", pero cuando el integrando implica un movimiento browniano, no veo por qué eso es útil.
