Permítame intentar responder. El término que menciona en su pregunta aparece con frecuencia en los cálculos del CVA (Ajuste de la Valoración del Crédito). En el contexto del CVA, el momento de parada referido a un evento de crédito es el momento en que una contraparte incumple (por "contraparte" me refiero a alguna institución financiera o corporativa que ha negociado una cartera de derivados con algún banco, y por tanto esta institución financiera o corporativa es la "contraparte" del banco en esta cartera de derivados). El CVA es básicamente el coste implícito en el mercado de asegurar el riesgo de crédito relacionado con el impago de esta contraparte.
La fórmula genérica del CVA puede escribirse como sigue ( $Df(t)$ es el factor de descuento de $t_0$ a $t$ , $V(t)$ es el valor de la cartera en el momento $t$ La LGD es la "pérdida en caso de impago". Si una contraparte incumple y usted todavía puede recuperar " $x$ del valor de su cartera, entonces $LGD = 1 - x$ ):
$$ CVA(t |\mathbb{F_{t_0}}) = \mathbb{E_Q} \left[ \int_{s=t_0}^{s=t} Df(s)* I_{(V_s>0)} * I_{(default_s)} *LGD* V(s) ds \right] = \\ = LGD* \mathbb{E_Q} \left[ \int_{s=t_0}^{s=t} Df(s)*I_{(default_s)}* V(s)^+ ds \right] = \\ = LGD* \int_{s=t_0}^{s=t} \mathbb{E_Q} \left[Df(s)*I_{(default_s)}* V(s)^+ \right] ds = \\ = LGD* \int_{s=t_0}^{s=t} \mathbb{E_Q} \left[I_{(default_s)} \right]* \mathbb{E_Q} \left[ \tilde{V}(s)^+ \right] ds $$
Arriba, $\tilde{V}(s)$ es el valor descontado de la cartera.
Ahora el término interesante es $\mathbb{E_Q} \left[I_{(default_s)} \right]$ que es la expectativa sobre una función indicadora que es igual a "uno" si la contraparte está en mora en el momento $s$ .
Según mi experiencia, mucha gente tiene problemas con este término. La forma en que me gusta pensar en este término es diciéndome a mí mismo que una "contraparte sólo puede incumplir en el momento $s=t$ si hubiera sobrevivido hasta el momento $s = t_-$ , donde $t_-$ representa el punto infinitesimalmente anterior al tiempo $t$ . Así que realmente, el término $I_{(default_s)}$ debe ser $I_{(default_s\cap survival(t_0,s_-))}$ .
En palabras, el término que menciona en su pregunta:
$$E_P[\mathbf{1}_{\{\tau\leq T\}}]=\int_0^T E_P[\mathbf{1}_{\{\tau=s\}}]ds.$$
¿Es el probabilidad que la contraparte incumpla en cualquier punto en el tiempo antes de e incluyendo el tiempo $T$ (o, en términos más generales, la probabilidad de que un evento de crédito haya ocurrido antes e incluyendo $T$ ).
Creo que la notación de tiempo de parada no es tan intuitiva. No hay nada malo en la integral que has escrito, pero probablemente preferiría reescribirla:
$$\int_{s=t_0}^{s=T} \mathbb{P}(Default_s|Survival_{s_-})*\mathbb{P}(Survival_{s_-})ds$$ .
Resulta aún más intuitivo si la integral se discretiza en $n$ intervalos, de modo que cada intervalo tenga una longitud $t_i - t_{i-1}$ . Para cada uno de estos períodos $t_i - t_{i-1}$ En este caso, se puede obtener la probabilidad condicional de impago mediante el bootstrap de la curva de CDS. Así que los diferenciales de los CDS a futuro le dan (simplificado ligeramente):
$$ \frac{ CDS \left( t_{i-1},t_i \right)}{LGD} = \mathbb{P} \left(Default\left( t_{i-1},t_i \right)|Survival \left( t_0,t_{i-1} \right) \right) $$
Y:
$$ 1 - \frac{ CDS \left( t_0,t_{i-1} \right)}{LGD} = \mathbb{P} \left(Survival \left( t_0,t_{i-1} \right) \right) $$ .
Así que finalmente, para responder a sus preguntas :
(1) La manipulación es válida. Se puede sumar (integrar) sobre la expectativa de una función indicadora que tiene como argumento un tiempo de parada por defecto, porque sólo se está integrando en el tiempo sobre una probabilidad de incumplimiento.
(2) ¿Cuándo es útil? Por ejemplo, para los cálculos del CVA.
