¿Cómo podría responder a esta pregunta del examen anterior relacionada con el precio límite de una opción?

Question

La siguiente imagen muestra una pregunta de un examen pasado que estoy intentando responder (para la que no tengo un esquema de puntuación):

I creer que bajo el modelo BMS, el pago de una acción al vencimiento $T$ viene dada por $$ S_T = S_0 \exp \left( \mu T + \sigma W_T \right) $$

Así, el pago de la acción en la pregunta vendría dado por $$ S_T = \exp \left( T + W_T \right) $$

Por lo tanto, esperaría que el pago de la opción fuera $$ V_0 (T) = \left| \frac{T}{2} + T + W_T \right| = \left| \frac{3T}{2} + W_T \right| $$

Sin embargo, $$ \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{\left| \frac{3T}{2} + W_T \right|}{\sqrt{T}} = \lim_{T \rightarrow \infty} \left| \frac{3\sqrt{T}}{2} + \frac{W_T}{\sqrt{T}} \right| = \infty $$

¿Qué estoy haciendo mal?

Answer 1

Dos cosas:

• El precio de la opción es la expectativa bajo el medida neutral de riesgo . Bajo esta medida, la deriva del precio de las acciones es $r$ y no $\mu$ : $$dS_t = S_t r dt + S_t \sigma dW_t$$

• Cuando se integra para conseguir $S_T$ has cometido un error: $$S_T = S_0\exp\left(\left(r-\frac{\sigma^2}{2} \right)T + \sigma W_T \right)$$

Comienza escribiendo la expresión de $d\ln(S_t)$ utilizando El lema de Itô , entonces deduzca $\ln(S_T)$ .