Resuelve la siguiente EDE: $\mathrm{d}X_t = a(b-X_t) \,\mathrm{d}t + c X_t \, \mathrm{d}W_t$

Question

Dejemos que $\mathrm{d}X_t = a(b-X_t) \,\mathrm{d}t + c X_t \, \mathrm{d}W_t$ sea una ecuación diferencial estocástica donde $a$ , $b$ y $c$ son constantes positivas, así que intenté resolverlo pero me quedé atascado en el proceso, aquí está mi intento:

$$\mathrm{d}X_t = a(b-X_t) \, \mathrm{d}t + c X_t \, \mathrm{d}W_t$$ $$\mathrm{d}X_t = ab \, \mathrm{d}t - aX_t \, \mathrm{d}t + c X_t \, \mathrm{d}W_t$$ $$\mathrm{d}X_t + aX_t \, \mathrm{d}t - c X_t \mathrm{d}W_t = ab \, \mathrm{d}t$$ $$\int_0^t \mathrm{d}X_t + \int_0^t aX_t \, \mathrm{d}t - \int_0^t c X_t \, \mathrm{d}W_t = \int_0^t ab \, \mathrm{d}t$$

¿Qué debo hacer a partir de aquí?

Answer 1

Dejemos que \begin {align*} Y_t = e^{(a+ \frac {c^2}{2})t-cW_t}. \end {align*} Entonces \begin {align*} dY_t = Y_t \left [ \big (a+c^2 \big )dt -c dW_t \right ]. \end {align*} Además, \begin {align*} d(X_tY_t) &= Y_t dX_t + X_t dY_t + d \langle X, Y \rangle_t\\ &=abY_tdt. \end {align*} Eso es, \begin {align*} X_t = Y_t^{-1} \left (X_0 + ab \int_0 ^t Y_sds \right ). \end {align*}

Answer 2

He visto que la respuesta de Gordon es más concisa y directa. Tómese esto como una respuesta complementaria.

Este es un enfoque general que funcionará para todo este tipo de SDEs lineales, no sólo para éste. Supongamos que tenemos la siguiente EDE lineal

$$dX_t = (F_t X_t +f_t)dt + (G_t X_t +g_t)dB_t \tag*{(1)}$$

donde $F, G, f$ y $g$ son funciones acotadas medibles de Borel.

La ecuación homogénea correspondiente de la Ec. (1) es $$dX_t = F_t X_tdt + G_t X_tdB_t, \tag*{(2)}$$ La ecuación (2) tiene una solución única (esto se puede demostrar comprobando que $F$ y $G$ satisface las condiciones de Lipschitz y de crecimiento lineal). Así que si se encuentra una solución, sabemos que es LA solución. La solución es $$\Phi_t = \Phi_0 \exp \left(\int_{t_0}^t (F_s -\frac{1}{2}G^2_s)ds + \int_{t_0}^t G_s dB_s \right). \tag*{(3)}$$ Este es un resultado bien conocido (se puede comprobar que (3) es la solución de la ecuación Ec (2) utilizando la fórmula de Ito). Entonces la solución de la ecuación (1) viene dada por la fórmula de variación de las constantes $$X_t = \Phi_t \left( X_0 + \int_{t_0}^t \Phi^{-1}_s[f_s - G_sg_s]ds + \int_{t_0}^t \Phi^{-1}_s g_s dB_s \right). \tag*{(4)}$$ En su caso, la Ec (1) se simplifica mucho porque tenemos $$f(t)= ab ; \quad F(t) = -a; \quad G(t) = c; \quad g(t) = 0. \tag*{(*)}$$ por lo que su ecuación homogénea es la ecuación clásica de Black-Scholes (pero con el parámetro "a" negativo en lugar de positivo). Podemos obtener la solución sustituyendo (*) en la ecuación (3) o (si lo prefieres) aplicando la fórmula de Ito a la ecuación (2) con la función $f(x)= \ln x$ . En cualquier caso, la solución de la ecuación homogénea es $$\Phi_t = \Phi_0 e^{-(a + \frac{1}{2} c^2)t + c B_t}. \tag*{(5)}$$

Finalmente, introduce (5) en (4) para obtener la solución de tu ecuación $$X_t = \Phi_t \left( X_0 + ab \int_0^t \Phi_s^{-1} ds \right ).$$

Para comprobar estos resultados se pueden consultar, por ejemplo, los libros de Oksendal o Mao Xuerong.