Si $a_{t}$ es el activo en el momento $t$ , $c_{t}$ el consumo en el momento $t$ y $r$ el tipo de interés, entonces $a_{t+1} - a_{t} = ra_{t} - c_{t}$ es el flujo de $a$ . Pero parece que en macroeconomía la gente sólo escribe $\dot{a}_{t} = ra_{t}-c_{t}$ en cambio, en la configuración de tiempo continuo. No veo el pasaje de $a_{t+1}-a_{t}$ a $\dot{a}_{t}$ en general. Puedo justificarlo en algunos casos especiales. Por ejemplo, si $a_{t+1}-a_{t} = r$ para algunos $r$ , todos $t$ entonces $a_{t+h}-a_{t} = hr$ por lo que tomar el límite del cociente de la diferencia nos lleva a $\dot{a}_{t} = r$ . Pero esto depende de que el término del lado derecho sea lineal en $t$ .
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Bill718
Puntos
90
No estoy seguro de cómo tratan los economistas la transición del tiempo continuo al tiempo discreto. Mi formación es en ingeniería de sistemas/matemáticas aplicadas, y la literatura económica que conozco es de tiempo discreto o de tiempo continuo. Por desgracia, no tengo buenas referencias sobre las conversiones de tiempo discreto a tiempo continuo de la literatura de ingeniería de sistemas (me deshice de los libros de texto).
La clave en este caso es que el coeficiente "a" de estos sistemas no corresponde necesariamente al mismo número. Tenemos que ajustarlo para que el comportamiento se alinee.
Si pasamos del tiempo continuo al tiempo discreto, estamos muestreando el sistema de tiempo continuo. La frecuencia de muestreo es importante.
Esto es fácil de ver. Imagine que una variable continua crece un 1% en seis meses. Si el paso de tiempo discreto es de seis meses, la variable crece un 1,01 en cada periodo. Sin embargo, si nuestra muestra es anual, obtenemos un paso de crecimiento de transición de $(1.01)^2$ por periodo. Esencialmente, la fórmula para convertir el coeficiente de crecimiento es similar al cambio de las convenciones de comilla de los tipos de interés de la composición continua a un equivalente de rendimiento de los bonos.
Aunque una variable de crecimiento continuo (como un depósito de compensación) es relativamente sencilla de tratar, algo como las series de consumo es más difícil de especificar. Si queremos que el tiempo discreto se corresponda con los valores muestreados de la versión de tiempo continuo, tenemos que precisar la dinámica de tiempo continuo de alguna manera. ¿Es constante durante el intervalo de tiempo, o también crece de forma exponencial (lo que ocurriría si fuera una variable endógena dentro de un modelo lineal)?
Pasar de tiempo discreto a tiempo continuo es más complicado. Un sistema de tiempo continuo contiene mucha más información que un sistema de tiempo discreto. Hay un número infinito de sistemas de tiempo continuo que pueden generar el mismo sistema de tiempo discreto. Necesitamos un maquinismo para fijar la dinámica de la versión de tiempo continuo, pero la decisión puede considerarse arbitraria. Este es un tema que no se estudia mucho en la ingeniería de sistemas, ya que los sistemas físicos ya funcionan realmente en tiempo continuo.
Un ejemplo económico sencillo de la pérdida de información es el siguiente. Imaginemos que tenemos un modelo de frecuencia trimestral, pero que un hogar recibe un flujo de caja en algún momento del trimestre. Los intereses se acumulan diariamente (como un depósito bancario). La cantidad final que se mantiene al final del trimestre depende de la duración del periodo de tenencia, que puede ser de 0 a 3 meses. Dado que el modelo de tiempo discreto no tiene en cuenta los tiempos entre los períodos de muestra trimestrales, no tiene forma de modelar este efecto temporal que es una propiedad del modelo de tiempo continuo. Esto significa que un modelo de tiempo discreto probablemente sólo se aproximará a un modelo de tiempo continuo.
