Volatilidad de las acciones múltiples

Question

Según BSM, el precio de las acciones sigue una distribución log-normal s.t. $$S(t)=S(0)*\exp(\sigma\sqrt t Z-(\sigma^2t)/2)$$ donde Z es la variable normal estándar Entonces la volatilidad de esta acción es $\sigma \sqrt t$ .

Supongamos que modifico una nueva acción $S'(t)=S_1(t)*S_2(t)$ donde $S_1(t)$ y $S_2(t)$ seguirá la distribución logarítmica normal mencionada anteriormente con los parámetros $\sigma_1,Z1$ y $\sigma_2,Z2$ y $Z_1$ y $Z_2$ están correlacionadas con un factor rho, entonces ¿cómo calculo la volatilidad de la nueva acción denotada por el precio S'(t)?

Actualmente, según Cómo calcular la matriz de volatilidad con múltiples valores

He calculado volatilidad = sqrt(sigma1^2+sigma^2)*sqrt(t) pero no estoy seguro de que sea correcto, especialmente para Zs correlacionadas

Answer 1

Utilice el lema de Ito sobre la función $f(x,y) = xy$ y luego extraer el término de difusión.

Answer 2

Obtener la vola para los retornos logarítmicos es fácil y no se necesita el lema de itos, ya que

$$ \log S'(t) = \log S_1(t) + \log S_2(t),$$ por lo tanto $$ var(S'(t)) = var(\log S_1(t)) + var(\log S_2(t)) + 2covar(\log S_1(t),\log S_2(t))\\ = \sigma_1t+\sigma_2t+2\rho \sigma_1\sigma_2.$$

Sin embargo, para obtener la vola para el precio de las acciones no logarítmicas sí que hay que utilizar la fórmula ito.