Tengo un modelo de series temporales:
$$y_t = \sigma_t \epsilon_t$$
$$\sigma_t = w + \gamma|y_{t-1}|$$
Dónde $\epsilon_t$ se distribuyen normalmente i.i.d con media cero y varianza uno. Supongamos que t = $0, ±1, ±2, ±3, \ldots$ y que el proceso $y_t$ es débilmente y fuertemente estacionario.
a) ¿Qué restricciones a los parámetros w y $\gamma$ ¿parece sensato?
b) Calcular $E|y_t|$ asumiendo que esta cantidad es finita, observando que $E|\epsilon_{t-1}| = \sqrt{\frac{2}{\pi}}$
(c) Escriba $|y_t|$ como un proceso AR(1) y, por tanto, calcular la función de autocorrelación de los rendimientos absolutos: $$p_j = \frac{cov(|y_t|, |y_{t-j}|)}{cov(|y_t|, |y_{0}|)}$$
Así que para (a) me siento como: $\gamma \in [0, 1)$ debería ser razonable, ya que esperamos que los períodos de alta volatilidad se agrupen. ¿Necesitamos asumir w > 0 para una desviación estándar positiva? Creo que esto marca una diferencia en la respuesta para b:
$$ E|y_t| = E[|\sigma_t \epsilon_t|] = E[|\sigma_t| |\epsilon_t|]$$ $$ \text{as they are independent:} $$ $$ = E[|\sigma_t|] E[|\epsilon_t|] = E[|w + \gamma|y_{t-1}||]\sqrt{\frac{2}{\pi}}$$ $$ \text{as we assumed w and $\gamma$ are positive:}$$ $$ = E[w + \gamma|y_{t-1}|]\sqrt{\frac{2}{\pi}} = \{w + \gamma E[|y_{t-1}|]\}\sqrt{\frac{2}{\pi}} $$ $$ \text{as we have a weakly stationary series:}$$ $$ E|y_t| = \{w + \gamma E[|y_{t}|]\}\sqrt{\frac{2}{\pi}} \implies E|y_t| = \frac{w\sqrt{\frac{2}{\pi}}}{1 - \gamma \sqrt{\frac{2}{\pi}}} $$
¿Esto es correcto o he hecho algún truco de magia?
Para (c) estoy atascado:
Me sale $|y_t| = \{w + \gamma |y_{t-1}|\}|\epsilon_t|$ pero no puede hacer nada útil con la covarianza.
Cualquier ayuda es muy apreciada. No estoy muy familiarizado con los modelos ARCH/GARCH.
