Demostrando que un proceso estocástico es una martingala usando Ito's Lemma

Question

Asuma un proceso Wiener W y un proceso estocástico ajustado en F delimitado a. Mostrar que el siguiente proceso es una martingala en F

<span class="math-container">$$X(t)=(\int{0}^{t}a(s)dW(s))^{2}-\int{0}^{t}a^{2}(s)ds,\ t\geq0$$</span>

¿Puede alguien ayudarme en el ejercicio anterior? Traté de aplicar el lemma de Ito, pero me quedé atascado

Answer 1

Alternativamente, podemos usar ito isometry (<span class="math-container">$X$</span>'s integrabilidad y adaptabilidad están garantizadas por <span class="math-container">$a$</span>'boundness y adaptabilidad, respectivamente):

<span class="math-container">$$E[X_t|{\cal F}_s] = E[X_s\big|{\cal F}_s] + E\left[\left(\int_s^t a_udW_u\right)^2 - \int_s^t a_u^2du \big|{\cal F}_s \right] $$</span>

<span class="math-container">$$ = X_s + E\left[\left(\int_s^t a_udW_u\right)^2\big|{\cal F}_s\right] - E \left[ \int_s^t a_u^2du \big|{\cal F}_s \right] =X_s$$</span>