Modelo Leontief de entrada y salida con suma de columnas superior a 1

Question

En un libro de texto de álgebra lineal me encontré con la siguiente pregunta (no incluida en la clave de respuestas):

Consideremos una economía abierta con una matriz de consumo

\begin {Ecuación} C = \begin {pmatrix} 0.5 & 0.25 & 0.25 \\ 0.5 & 0.125 & 0.25 \\ 0.5 & 0.25 & 0.125 \\ \end {pmatrix} \end {Ecuación} Si el sector abierto demanda el mismo valor en dólares de cada sector productor de productos, ¿cuál de estos sectores debe producir el mayor valor en dólares para satisfacer la demanda? ¿Es la economía productiva?

Este libro de texto define lo productivo como: "Economías para las que $(I − C)^{−1}$ tiene entradas no negativas se dice que es productiva".

A continuación se muestra un teorema del libro de texto.

Si $C$ es la matriz de consumo para una economía abierta, y si todas las sumas de las columnas son menores que $1$ entonces la matriz $I − C$ es invertible, las entradas de $(I − C)^{−1}$ son no negativos, y la economía es productiva.

Inmediatamente observo que la suma de columnas de $C$ es mayor que $1$ y por lo que dice el libro de texto eso significa que el sector en cuestión requiere más insumos que su producción, por lo que no es rentable. Sin embargo, resulta que esta matriz dada es invertible y su inversa tiene entradas no negativas.

Entiendo matemáticamente en el teorema citado que las sumas de las columnas al ser menores que $1$ no es un si y sólo si condición y, por lo tanto, es posible que se den circunstancias excepcionales.

Sin embargo, en términos económicos la pregunta parece extraña, es decir, preguntar si una economía con un sector no rentable es productiva.

Si la pregunta no es defectuosa: ¿cómo explicarías esto en términos económicos? O si lo es, ¿qué es lo que falla en la pregunta?

Answer 1

En términos de si y sólo si declaraciones según Peterson y Olinick (1982) ;

Una matriz subestática A es productiva si y sólo si $I-A$ es no singular.

En la matriz subestática la suma de entradas por fila o columnas no será mayor que 1 por lo que forma parte de la condición pero además la matriz $I-C$ también debe ser no singular. La no singularidad es importante para la invertibilidad de la matriz.

En consecuencia, no creo que haya excepciones en las que las industrias no sean rentables pero la matriz siga siendo productiva. Más bien hay excepciones en las que sólo porque las entradas suman menos que 1 y la matriz es no negativa pero es singular y por tanto no podemos invertirla, en cuyo caso no cumpliría las condiciones para ser productiva.