Supongamos que las preferencias vienen dadas por una función de utilidad
$$u(x_1,x_2) = (x_1^\rho + x_2^\rho)^{1/\rho}$$
cuáles son entonces las demandas de Marshall dada la restricción presupuestaria
$$p_1x_1 + p_2x_2 \leq I$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para responder a esta pregunta, primero generalizaré ligeramente la pregunta para tratar la función de utilidad
$$u(x) = \left(\sum_j x_j^\alpha\right)^{1/\alpha}$$
La demanda de Marshall puede escribirse como
$$x_k^\star(p,I) = \left(\frac{p_k}{\bar p}\right)^{\frac{1}{\alpha - 1}} \frac{I}{\bar p} = \frac{p_k^\frac{1}{\alpha - 1} I}{\sum_j p_j^\frac{\alpha}{\alpha-1}},$$
y la función de valor como
$$V(p,I) := u(x^\star) = \frac{I}{\bar p}$$
donde $\bar p := \left(\sum_j p_j^{\frac{\alpha}{\alpha-1}} \right)^{\frac{\alpha - 1}{\alpha}}$ es el índice de precios que se obtiene aquí Índice de precios Dixit-Stiglitz .
Para hallar la demanda de Marshal se parte de la condición estándar de que los precios relativos son iguales al MRS
$$\frac{p_j}{p_k} = \frac{\partial u/\partial x_j}{\partial u/\partial x_k} = \frac{x_j^{\alpha - 1}}{x_k^{\alpha - 1}},$$
para conseguir
$$p_k^{\frac{1}{\alpha - 1}} x_j = p_j^{\frac{1}{\alpha - 1}} x_k,$$
lo que implica que
$$p_k^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}} x^\alpha_j = p_j^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}} x^\alpha_k,$$
y sumando sobre $j$ esto da como resultado la ecuación
$$p_k^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}} \sum_j x^\alpha_j = x^\alpha_k \sum_j p_j^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}} ,$$
lo que implica que
$$(A)\ \ \ p_k^{\frac{1}{\alpha - 1}} \left(\sum_j x^\alpha_j \right)^{1/\alpha}= x_k \left(\sum_j p_j^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}}\right)^{1/\alpha} ,$$
donde al multiplicar por $p_k$ y sumando sobre $k$ resulta en la ecuación
$$\sum_k p_k^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}} \left(\sum_j x^\alpha_j \right)^{1/\alpha} = I \left(\sum_j p_j^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}}\right)^{1/\alpha},$$
del que aíslo el factor que incluye $x_j$ para conseguir
$$\left(\sum_j x^\alpha_j \right)^{1/\alpha} = I \left(\sum_j p_j^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}}\right)^{\frac{1-\alpha}{\alpha}} = \frac{I}{\bar p},$$
donde el LHS es la función de utilidad igual a una expresión que incluye sólo los ingresos $I$ y los precios que, por tanto, son la función de valor $V(p,I) = I/\bar p$ . Insertando esta expresión en (A) y aislando $x_k$ da la Demanda Marshall
$$p_k^{\frac{1}{\alpha - 1}} \frac{I}{\bar p}= x_k \left(\sum_j p_j^{\frac{\alpha}{\alpha - 1}}\right)^{1/\alpha} \Leftrightarrow x_k^\star(p,I) = \left(\frac{p_k}{\bar p} \right)^{\frac{1}{\alpha - 1}} \frac{I}{\bar p}.$$
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¿Podría mostrarnos su intento según nuestra política de preguntas de autopensamiento/tarea?
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Yo mismo responderé a la pregunta.
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Pero si se sabe la respuesta, ¿qué sentido tiene preguntarla?
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1) Actualmente no sé la respuesta pero puedo encontrarla fácilmente 2) Es una pregunta estándar cuya respuesta puede ser beneficiosa para otros usuarios y, por tanto, una contribución al sitio. Si la pregunta y la respuesta ya existen, puede cerrarse como un duplicado, en cuyo caso no contribuiría al sitio.
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1. La comunidad definitivamente mirará si es un duplicado o no, pero no debes publicar preguntas sin comprobar primero el sitio. Esa es una de las reglas aquí (ver el centro de ayuda). Especialmente si no eres un usuario nuevo, preguntar sin comprobar será mal recibido por la comunidad. 2. Si quieres responder a tu propia pregunta, está bien, pero debes tratar de hacer la pregunta de una manera que siga nuestras reglas - no imponemos reglas de manera draconiana y no quiero cerrar esta pregunta directamente porque eres un usuario establecido, pero por las reglas debería
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Sí, he comprobado el sitio, sin embargo, dado que el motor de búsqueda en StackExchange, por desgracia, es muy pobre y de todos modos toma un poco de habilidad para usar, no puedo estar seguro de que un duplicado no existe. ¿La pregunta no está formulada de forma que siga las reglas?
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Si has comprobado el sitio antes de que está bien, sí a veces el motor de búsqueda no muestran incluso un duplicado. En cuanto a la segunda parte, eche un vistazo a nuestro centro de ayuda . Todas las normas se encuentran allí.
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Sí, conozco esas normas. No veo cómo estoy rompiendo ninguna de esas reglas, pero hágamelo saber si piensa lo contrario. Además, he visto a otros usuarios preguntar y responder ellos mismos a las preguntas, preguntas que yo mismo he aprovechado a menudo para leer, así que no creo que esté haciendo nada perjudicial para el sitio o que no esté en línea con la política del sitio.
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Sin embargo, está permitido responder a sus propias preguntas, de acuerdo con nuestras normas: Cuando publiques una pregunta de deberes, es por tanto esencial que demuestres alguna evidencia de haber intentado responder a la pregunta de forma independiente. Independientemente de si se trata de deberes reales o no (lo cual no podemos verificar) cualquier pregunta parecida a los deberes debe seguir estas reglas o ser cerrada. Su pregunta no demuestra ningún intento de resolver la pregunta
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Sí, no es una tarea, si la encuentras "parecida a una tarea" supongo que estás en tu derecho de cerrarla por ese motivo. Sin embargo, supongo que la política sobre las personas que publican preguntas "parecidas a los deberes" es principalmente que el sitio no debe ser un lugar donde la gente pueda hacer sus deberes. Como seguramente no es el caso aquí -ya que he indicado que responderé a la pregunta yo mismo- sigo sin ver cómo no estoy en línea con la política.
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Pero el problema es que cualquiera puede afirmar que está publicando una pregunta y que tiene la intención de resolverla por sí mismo en una fecha posterior. Es como si todo el mundo pudiera afirmar que su pregunta no es una pregunta de tarea. Por eso aplicamos estas normas en función del contenido de la pregunta. También, sólo para notar, creo completamente que no lo estás haciendo para la tarea, he visto tus otras respuestas y estoy seguro de que sabes cómo resolver esto - pero ¿cómo es justo hacer una excepción para ti cuando imponemos esta política a los demás? Además, aparte de la pregunta de los deberes, también preguntamos a los usuarios:
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Sólo debe hacer preguntas prácticas y con respuesta, basadas en problemas reales a los que se enfrenta . ¿Es realmente un problema al que te enfrentas? Por lo general, la auto-respuesta se debe hacer cuando en una fecha posterior se descubre la solución por lo que se comparte con los demás. También está bien hacer respuestas de la comunidad, pero entonces usted debe poner realmente más esfuerzo en eso
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Como ya se ha dicho, es un problema real al que me enfrento. Es muy práctico y fácil de responder.
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Ok he terminado de discutir, no voy a cerrarlo pero no me extrañaría que lo cerraran los usuarios y no me extrañaría que la comunidad recibiera la pregunta negativamente. Ya veo un voto de cierre
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Gracias. Se agradece.
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Voto por cerrar esta pregunta porque ya se han dicho demasiadas cosas sobre las funciones de utilidad homotéticas en este sitio. O se generaliza a una transformación monotónica más general, o se cierra.