¿Qué es la neutralidad del riesgo en un modelo de tipos de interés?

Question

En Shreve II, en la p. 265, afirma que el modelo de tipos de interés de Hull-White es el siguiente $$ dR(u) = \left( a(u) - b(u)R(u)\right) dt + \sigma(u)d\tilde{W}(u), $$ y luego menciona "... $\tilde{W}(u)$ es un movimiento browniano bajo una medida de riesgo neutral $\tilde{\mathbb{P}}$ ." Sin embargo, cuando define una medida neutral de riesgo en la página 228, afirma que $\tilde{\mathbb{P}}$ es una medida bajo la cual el El precio de las acciones con descuento es una martingala.

Esta definición no se aplica realmente en este caso, así que ¿qué se entiende por una "medida neutral de riesgo" cuando se modelan los tipos de interés? Además, ¿por qué los modelos de tipos de interés parecen estar siempre planteados bajo estas probabilidades neutrales al riesgo?

Answer 1

Es una cuestión muy interesante. Hay una breve explicación en el libro Métodos de martingala en la modelización financiera . Básicamente, dice que, el tipo de interés corto $r_t$ se puede modelar en cualquier medida martingala $Q$ Sin embargo, mientras el precio del bono de cupón cero $P(t, T)$ se define por \begin {align*} P(t, T) = E^{Q} \Big (e^{- \int_t ^T r_s ds} \mid \mathcal {F}_t \Big ) \end {align*} entonces el precio del bono descontado $$\frac{P(t, T)}{B(t)},$$ es un $Q-$ martingala, y está libre de arbitraje. Aquí $B(t)= e^{\int_0^tr_sds}$ es el valor de la cuenta del mercado monetario. Esto nos da la libertad de elegir la medida de martingala, y la gente siempre asume que el modelo de tipos de interés está definido bajo la medida de probabilidad neutral al riesgo.

Answer 2

La definición de una medida de probabilidad neutral al riesgo depende del modelo. El modelo de tipos de interés (de un factor) de Shreve II consiste en un único bono de cupón cero $B(t,T)$ con madurez $T$ y de una cuenta del mercado monetario. Así que queremos el precio del bono descontado para ser una martingala bajo una medida de probabilidad neutral al riesgo. Lo definimos como es habitual (es decir, Shreve II, 5.2.2.):

Supongamos que el tipo de interés $R(t)$ y el vínculo $B(t,T)$ satisfacen sus respectivas ecuaciones diferenciales estocásticas bajo la probabilidad real: $$ dR(t) = \xi(t,R(t))dt + \phi(t, R(t))dW(t)$$ $$ dB(t,T) = \mu(t,T)B(t,T)dt + \sigma(t,T)B(t,T)dW(t)$$ donde $W(t)$ es un movimiento browniano.

El proceso de descuento $D(t) = e^{-\int_0^t R(s)ds}$ así que como siempre $ dD(t) = -R(t)D(t)dt$

Queremos que el precio del bono descontado sea una martingala: $$ d(D(t)B(t,T)) = D(dB(t,T) - R(t)B(t,T)dt) = D(t)B(t,T)\sigma(t,T)\Big(\frac{\mu(t,T) -R(t)}{\sigma(t,T)}dt + dW(t)\Big) = D(t)B(t,T)\sigma(t,T)\Big(\theta(t)dt + dW(t)\Big)$$

donde definimos el precio de mercado del riesgo $\theta(t) = \frac{\mu(t,T) -R(t)}{\sigma(t,T)}$ .

Introducimos la medida de probabilidad neutral al riesgo $\tilde{\mathbb{P}}$ utilizando el teorema de Girsanov como siempre.

Las consideraciones anteriores no dependen de la forma de la SDE para el proceso del tipo de interés $R(t)$ por lo que está bien empezar desde la medida de probabilidad neutra de riks como se hace en el libro de Shreve.