Me gustaría saber cómo el déficit esperado $SF_\alpha$ y la varianza $\sigma^2$ están relacionados.
Si sigo lo que Aaron Brown respondido en este puesto cuando la distribución subyacente es Normal con desviación estándar $\sigma$ entonces:
$$VaR_\alpha=\Phi^{-1}(\alpha) \cdot \sigma$$
y
$$SF_\alpha= \frac{1}{\alpha \sqrt{2 \pi}} \exp \left( - \frac{VaR_\alpha^2}{2} \right)$$
Por lo tanto, si tomo un $\alpha < 0.5$ Sé que $\Phi^{-1}(\alpha) < 0$ y por lo tanto eso:
$$\frac{d(VaR_\alpha)}{d \sigma} = \Phi^{-1}(\alpha) < 0$$
y que
$$\frac{d(ES_\alpha)}{d \sigma} = SF_\alpha \frac{-1}{2} \Phi^{-1}(\alpha) 2 \sigma = \underbrace{SF_\alpha}_{>0} \underbrace{ (-1) \Phi^{-1}(\alpha)}_{>0} \sigma > 0$$
Por lo tanto, sé que si mi volatilidad crece, mi déficit crecerá junto con ella, bajo el supuesto de normalidad.
Sin embargo, me pregunto si podemos decir lo mismo en general.
Supongamos que tengo dos grandes muestras de una población desconocida, y que estimo el $ES_\alpha$ de las muestras que me dan valores $r_1$ para la muestra 1 y y $r_2$ para la muestra 2. Supongamos que $s_1$ y $s_2$ son las desviaciones estándar de la muestra.
Por último, supongamos que $r_1<r_2$ .
Puedo decir, mirando sólo las medidas de déficit, que $s_1<s_2$ ?
Matemáticamente, sin suposiciones previas, ¿ $r_1<r_2 \Rightarrow s_1<s_2$ ? O incluso $r_1<r_2 \Leftrightarrow s_1<s_2$ (parece poco probable)?
