El precio NA de una cápsula con pago

Question

Demuestre la siguiente afirmación: El precio NA de una cápsula con pago $$\delta \cdot (L(T;T,T+\delta)-k)^{+} $$ en el momento $T+\delta$ es igual al precio NA de una opción de venta con el pago $$(1+\delta \cdot k)\cdot( \frac{1}{1+\delta \cdot k}-p(T,T+\delta) )^{+}$$ en el momento T.

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Mi idea es: Trato de empezar a usar la definición de NA que es $$\sum_{I=1}^n c_I p(t,T_i)+ K p(t,T_n).$$ Además, una cápsula es un derivado con pago $$Cpl(T,T+\delta ):= \delta \cdot (L(T;T,T+\delta )-k)^{+} $$ en el momento $T+ \delta .$ Un floorlet es un derivado del tipo de interés con pago $$\delta \cdot(k- L(T;T,T+\delta ))^{+}$$ en el momento $T+\delta $

Answer 1

Intuitivamente, se puede pensar en un caplet como la opción de vender en el momento $T$ un período ( $\delta$ ) con un tipo de cupón predeterminado $k$ para el par (digamos que el nominal es 1). Con el producto de la venta de bonos, se invierte en el mercado monetario y en el momento $T + \delta$ se obtiene $1 + \delta L \left(T, T + \delta\right)$ . Después de devolver el principal del bono con los intereses $\delta k$ has bloqueado el pago $\delta \left[L \left(T, T + \delta\right) - k \right]^+$ . Se trata de una justificación económica.

Para la justificación matemática: con la cápsula, usted recibe en el momento $T + \delta$ la recompensa \begin {align} \delta \left [L \left (T, T + \delta\right ) - k \right ]^+ &= \left [1 + \delta L \left (T, T + \delta\right ) - \left (1 + \delta k \right ) \right ]^+ \\ & = \left [ \frac {1}{P \left (T, T + \delta\right )} - \left (1 + \delta k \right ) \right ]^+ \end {align} Para obtener el pago en el momento $T$ se descuenta al tipo Libor correspondiente $L\left(T, T + \delta\right)$ que se conoce en el momento $T$ que produce $ \left[1 - P\left(T, T + \delta\right) \left(1 + \delta k\right)\right] $ y su fórmula viene inmediatamente.