¿Qué es exactamente el rendimiento esperado?

Question

Considere la siguiente trama, cortesía de esta página :

En cuanto a la $y$ -¿Cómo se relaciona este "rendimiento esperado" con el "rendimiento esperado instantáneo" en un movimiento browniano geométrico (GBM)?

Por ejemplo, supongamos que el precio de cada acción sigue $dS(t) = \mu S(t) dt + \sigma S(t) dW(t)$ y así $S(t) = S(0)\exp\left(\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2}\right)t + \sigma \sqrt{t} Z\right)$ donde $Z \sim \mathcal{N}(0,1)$ . Entonces calcularía la rentabilidad (anual) esperada como $$ \mathrm{E}\left[\frac{S(1)}{S(0)} - 1\right] = \mathrm{E}\left[\exp\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} + \sigma Z\right)\right] - 1 = \exp\left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} + \frac{\sigma^2}{2}\right) - 1 = e^\mu - 1, $$ donde la segunda igualdad proviene de la función generadora de momentos de una variable aleatoria normal.

Tomemos la cartera A en el gráfico y supongamos que se trata de una sola acción, impulsada por el GBM anterior con una tasa de rendimiento instantánea $\mu$ . La cartera A tiene una "rentabilidad esperada" de $8\%$ . Entonces, ¿a cuál de las siguientes opciones (si es que hay alguna) nos referimos?

1. $e^\mu - 1 = 8\%$
2. $\mu = 8\%$

Answer 1

Supongamos que no tenemos dividendos como en Black-Scholes-Merton y en tu ejemplo. La rentabilidad esperada entre el tiempo $t$ y $t+\Delta t$ se define como $$ \mathbb{E}_t\left[R_{t+\Delta t}\right]\equiv\mathbb{E}_t\left[\frac{S_{t+\Delta t} - S_t}{S_t}\right] = \mathbb{E}_t\left[\frac{\Delta S_t}{S_t}\right] $$ Puede ver que, como $\Delta t \to dt$ , $\mathbb{E}_t\left[\frac{\Delta S_t}{S_t}\right] \to \mathbb{E}_t\left[\frac{dS_t}{S_t}\right] = \mu dt$ .

En cuanto a su pregunta, $\mu$ es la tasa de rendimiento instantánea por lo que $e^\mu - 1 = 8\%$ . También se sabe que la tasa de rendimiento debe definirse para un determinado plazo (por ejemplo, 4% por semestre, 8% por año, etc ) y con algún método de capitalización (por ejemplo, capitalización anual, capitalización trimestral, etc ). $\mu$ es el tipo de interés nominal anual esperado que se obtiene por capitalización continua.