Tengo un marco específico en mente y me gustaría valorar las opciones bajo este marco. No estoy seguro de si existe una solución de forma cerrada o si los métodos de Monte Carlo funcionarían. El marco que tengo en mente es el de Lettau y Wachter 2007 ( papel aquí ).
En resumen, este es el marco:
Dejemos que $\epsilon_{t+1}$ denotan un vector 3 × 1 de perturbaciones normales independientes que son independientes de las variables observadas en el momento t.
Dejemos que $D_t$ denotan el dividendo agregado en la economía en el momento t, y $d_t = ln D_t$ . Se supone que el dividendo agregado evoluciona según:
$\Delta d_{t+1} = g + z_t + \sigma_d \epsilon_{t+1}$ .
donde: $z_{t+1} = \phi_z +\sigma_z \epsilon_{t+1}$
Supongamos también que el factor de descuento estocástico se rige por una única variable de estado $x_t$ donde:
$x_{t+1} = (1-\phi_x) \bar{x} + \phi_x x_t + \sigma_x \epsilon_{t+1}$ .
$\sigma_d, \sigma_x, \sigma_z$ son todos vectores de 1x3.
El factor de descuento estocástico se define exógenamente como $M_{t+1} = exp ( -r^f - \frac{1}{2} x_t^2 - x_t \epsilon_{d,t+1})$ donde:
donde: $\epsilon_{d,t+1} = \frac{sigma_d}{\lVert \sigma_d \rVert} \epsilon_{t+1}$
Es bastante sencillo demostrar que la relación precio-dividendo de la renta variable reclama la suma de todas las demandas de dividendos futuros:
$\frac{P_t^m}{D_t} = \sum_{n=1}^\infty \frac{P_{nt}}{D_t} = \sum_{n=1}^\infty exp(A(n) + B_x(n) x_t + B_z(n) z_t)$ donde $A,B_x,B_z$ se resuelven en forma cerrada.
Ahora lo que busco es un método para calcular el valor de una opción de compra, con strike $K$ y la madurez $\tau$ bajo este marco, es decir:
$C(t,\tau,K) = E_t[M_{t,\tau}max(P^m_t-K,0)] $
No estoy seguro de si existe una solución de forma cerrada... si no, ¿funcionaría Monte Carlo?
