Procesos estocásticos (aplicación del lema de Ito al modelo de Ho-Lee)

Question

Busco una forma básica (SDE) para entender el modelo de Ho-Lee.

Ya entiendo los modelos de Vasicek, Merton y Cox-Ingereoll-Ross, etc. Por ejemplo,

\begin {align*} dX_t &= -1/2 \alpha X_t dt + \sigma dWt, \\ r_t &=f(t,X_t)=(X_t)^2. \end {align*} Entonces, $f_t(t,x)=0$ , $ f_x(t,x)=2x$ y $f_{xx}(t,x)=2$ . Por el Lemma de Itô,

\begin {align*} dr_t&= \left (-1/2 \alpha X_t \cdot 2X_t+ 1/2 \sigma ^2 \cdot 2 \right ) dt+2 \sigma X_t dW_t \\ &= \left ( \sigma ^2 - \alpha r_t \right )dt + 2 \sigma \sqrt {r_t} dW_t. \end {align*}

Entonces, ¿qué pasa con el modelo Ho-Lee?

Sé que el avance instantáneo viene dado por $$f(t, T) = f(0,T) + \sigma^2 (Tt - 1/2t^2) + \sigma W_t.$$

La tasa corta se obtiene utilizando $r_t=f(t,t)$ Es decir:

$$r_t= r_{0} + 1/2 \sigma^2 t^2 + \sigma W_t.$$

Pero, ¿hay alguna forma de definir el modelo a través de un SDE?

Answer 1

¿Podría verificar que he editado su pregunta correctamente, es decir, que ésta es efectivamente su pregunta?

En este caso, el modelo de Ho-Lee (1986) es el siguiente $dr=\theta_t dt +\sigma dW_t$ . ¿Se puede utilizar $f(t,x)=x$ tal que $X_t=r_t$ . En este sentido, el modelo de Ho-Lee es un modelo de Vasicek con dependencia del tiempo. Esto se generaliza aún más en el modelo de Hull y White (1990). En todos estos modelos, la tasa corta se distribuye normalmente. Permiten soluciones de forma cerrada de los precios de los bonos (opciones) de cupón cero.