La ley del precio único en un modelo discreto

Question

La siguiente pregunta asume que se está familiarizado con el modelo discreto descrito en el capítulo 5 de "Introduction to the Mathematics of Finance" de Steven Roman, 2ª edición, Springer 2012. No describiré el modelo ni la notación asociada en este post.

1. La Ley del Precio Único (p. 132) establece que, en ausencia de oportunidades de arbitraje en el mercado, $$ \mathcal{V}_T(\Phi_1) = \mathcal{V}_T(\Phi_2) \implies \mathcal{V}_k(\Phi_1) = \mathcal{V}_k(\Phi_2) $$ para todos los tiempos $0 \leq k \leq T$ y para todas las estrategias comerciales de autofinanciación $\Phi_1$ y $\Phi_2$ .

   Desgraciadamente, no se proporciona ninguna prueba en el texto (de hecho, esta ley se enuncia como una definición y no como un teorema). ¿Por qué se cumple esta ley?

2. Además, está implícito en el texto que sigue al enunciado de la Ley del Precio Único, que, si el mercado no tiene oportunidad de arbitraje, entonces, dada una alternativa alcanzable $X$ si se trata de un nuevo activo $a^*$ se introduce en el mercado y se le asigna un precio tal que su remuneración en el momento $t_T$ es $X$ y su precio es coherente con la Ley del Precio Único, es decir, para cada $k \in \{0, 1, \dots, T\}$ , $S_{a^*, k} := \mathcal{V}_k(\Phi)$ , donde $\Phi$ es cualquier estrategia de negociación autofinanciada tal que $\mathcal{V}_T(\Phi) = X$ Entonces, el mercado resultante, ampliado, seguirá sin tener oportunidades de arbitraje.

   ¿Por qué?

Answer 1

Lamentablemente, no conozco el modelo del que habla. Sin embargo, la ley de un solo precio es una implicación directa del supuesto de no arbitraje, que se asume en muchos modelos (si no en todos).

Estoy de acuerdo en que la ley del precio único debería enunciarse como un teorema y no como una definición. De todos modos. Consideremos el caso en el que dos carteras A y B tienen el mismo valor en el momento $T$ , $V^{(A)}_T = V^{(B)}_T$ y asumir que sus valores son diferentes en algún momento $0\leq t<T$ . Supongamos sin pérdida de generalidad que $V_t^{(A)} < V_t^{(B)}$ . Entonces compre la cartera A y la cartera B en corto, lo que le dará un beneficio en el momento $t$ de $V_t^{(B)} - V_t^{(A)} > 0$ y sin riesgo de perder dinero en el futuro. Así encontramos un arbitraje, que es una contradicción.

Answer 2

(1) Para conseguir un arbitraje, compre bajo y venda alto.

Considere la siguiente estrategia: en $k$ en el caso de que $V_k(\Phi_1) < V_k(\Phi_2)$ , comprar $\Phi_1$ y vender $\Phi_2$ invertir la diferencia al tipo libre de riesgo. Al vencimiento, tu cartera vale lo que pusiste en el banco más los intereses.

Formalmente, si $V_t(\Phi_\alpha) = \sum_{i=0}^d \Phi^i_{\alpha,t} S^i_t$ donde $S^0_t = (1+r)^t$ es el activo libre de riesgo, entonces la estrategia corresponde a $$ V_t = \sum \delta^i_t S^i_t $$ donde $\delta^i_t = 0$ para todo i y todo $t<k$ , entonces para $t\geq k$ y $i\neq 0$ ,
$$ \delta^i_t = 1_{V_k(\Phi_1)<V_k(\Phi_1)}(\Phi^i_{1,t} - \Phi^i_{2,t}) $$ La cantidad invertida en el activo sin riesgo es exactamente lo que queda para que la estrategia se autofinancie. Puede comprobar que $$ \delta^0_t = 1_{V_k(\Phi_1)<V_k(\Phi_2)}\Big( (V_k(\Phi_2)-V_k(\Phi_1))\frac{S^0_t}{S^0_k} + (\Phi^0_{1,t} - \Phi^0_{2,t}) \Big) $$

Tenga en cuenta que siguiendo esta estrategia, su cartera satisface

• $V_0 = 0$ ,
• $P(V_T \geq 0) = 1$
• $P(V_T > 0) \ge P(V_k(\Phi_1) < V_k(\Phi_2))$ ya que cada vez que la cartera $1$ vale estrictamente menos que la cartera $2$ terminas con dinero en el banco.

Como no hay arbitraje, esta última probabilidad tiene que ser cero: $V_k(\Phi_1) \ge V_k(\Phi_2)$ casi seguro. Por simetría, la desigualdad inversa también es cierta, así que $V_k(\Phi_1) = V_k(\Phi_2)$ casi seguro.

(2) El mercado sigue sin arbitraje porque el activo que has añadido es una combinación lineal de los anteriores. Si tienes una cartera $$ V_t = \sum_i \delta^i_t S^i_t + \delta_{a^*,t}S_{a^*,t} $$ crear un arbitraje en el mercado ampliado, se puede descomponer $S_{a^*,t}$ en los otros activos, reescribiendo $$ V_t = \sum_i (\delta^i_t + \delta_{a^*,t}\Phi^i_t) S^i_t $$ y esto le daría un arbitraje en el mercado original.

Answer 3

Históricamente, los bancos mantenían cerca del mínimo en sus cuentas de reserva. Una vez que la Fed comenzó a pagar intereses, rápidamente pusieron una cantidad realmente grande de dinero en esas cuentas. Si la Fed dejara de pagar intereses, creo que podríamos esperar que volvieran a mantener el mínimo en esas cuentas.

¿Y qué harían con el dinero? ¿Comprar valores seguros? ¿Títulos de riesgo? ¿Hacer más préstamos? Yo diría que todo lo anterior. Lo más probable es que la mayor parte del dinero vaya a parar a los subtipos: valores muy seguros como las letras del Tesoro y los valores del mercado monetario. Los préstamos serían los que menos subirían porque la disponibilidad de oportunidades de préstamos de alta calidad ya es el factor limitante.

La afluencia de efectivo a los mercados (y los nuevos préstamos) haría subir los precios de todos los valores invertibles (los inversores que solían comprar letras del Tesoro buscarán alternativas, etc.). También provocaría una expansión de la oferta monetaria que probablemente conduciría a la inflación.

La verdad es que esto me preocupa bastante. Sin embargo, es algo sin precedentes, así que no sabemos qué pasaría. Creo que podríamos anticipar que la Fed o el gobierno intenten hacer algo para compensar la inflación, al menos.