Demanda walrasiana con un giro de la función de Leontief

Question

Un consumidor tiene la función de utilidad $u(x_1; x_2) = \min(x_1; x_2) + 5 \max(x_1; x_2)$ . Encuentra su demanda walrasiana $x^*(p; w)$ .

He intentado buscarlo cuando tenemos dos funciones de Leontief sumadas pero sin suerte. Si se tratara de un caso sencillo sólo tendríamos $x_1=x_2$ y sustituirlo por la restricción presupuestaria para encontrar la demanda de ambos. ¿Debemos tomar cada función por separado o en conjunto? Estoy un poco perdido.

Answer 1

¿Por qué no introduces algunos valores para $x_1$ y $x_2$ ? Empieza con algo como

$x_1=1, x_2=1$ y encontrar la utilidad $u(1,1)=1+5*1$ .

Entonces aumenta $x_1$ o $x_2$ y que

$x_1=2, x_2=1$ y encontrar la utilidad $u(2,1)=1+5*2=11$ y

$x_1=1, x_2=2$ y encontrar la utilidad $u(1,2)=1+5*2=11$ .

Las utilidades de ambos paquetes son idénticas y los bienes parecen ser sustituibles. De hecho, para cualquier $x_1<x_2$ encontrará $u(x_1,x_2) = x_1 + 5 x_2$ y, del mismo modo, para cualquier $x_1>x_2$ encontrará $u(x_1,x_2) = x_2 + 5 x_1$ .

Ahora, sólo por ahora, supongamos que ambos bienes tienen el mismo precio $p_1=p_2=1$ y tienes un presupuesto de $w=3$ de tal manera que puedes comprar ambos paquetes dando la utilidad 11 allí arriba. Puede ver que sería mejor poner todo su dinero en uno de los bienes y obtener $u(3,0)=u(0,3) = 0 + 5*3=15$ . Ahora piensa en diferentes precios y en una renta general $w$ . ¿Tiene sentido comprar sólo uno de los productos? ¿Es el más barato?