Utilizando la ecuación de Slutsky

Question

Supongamos que tenemos utilidad:

$$U(x,y)=x^{0.5}y^{0.5}$$

Entonces, la demanda marshalliana por el bien $x$ es:

$$x(p_{x},p_{y},I)=\frac{0.5I}{p_{x}}$$

Y la demanda hicksiana para bien $x$ es:

$$x^{c}(p_{x},p_{y},U)=p_{x}^{-0.5}p_{y}^{0.5}U$$

Si $p_{x}=1$ , $p_{y}=4$ , $I=8$ y $U=2$ :

Demanda marshalliana de $x$ es 4 y la demanda hicksiana de $x$ es 4.

Suponiendo que el precio del bien $x$ se eleva a $p_{x}=4$ ¿Cómo puede la ecuación de Slutsky mostrarnos el cambio debido al efecto sustitución y al efecto renta?

Efecto de sustitución: $\frac{\partial x^c}{\partial p_{x}}=-0.25p_{x}^{-2}I$ según la ecuación de Slutsky. Si introducimos $p_{x}=4$ el resultado es -0,125. ¿Qué sentido tiene esto? La Demanda Hicksiana debería bajar de 4 a 2 después de este aumento de precios, pero no veo cómo la ecuación de Slutsky nos muestra eso.

Answer 1

En su contexto, la ecuación de Slutsky dice, después de $p_x$ aumenta de 1 a 4, lo siguiente es cierto:

\begin {align*} \text {cambio total de la demanda en $x$ } & \\ = \text {demanda de cambio en $x$ , manteniendo $U$ fijado en 2} & \\ + \text {demanda de cambio en $x$ , contabilizando el cambio de ingresos si no fijamos $U$ a las 2.} & \end {align*}

En el ejemplo, los efectos de sustitución y de renta tienen el mismo signo, por lo que utilizo valores absolutos para los cambios de la demanda en la ecuación anterior. De ahí el signo positivo en lugar del negativo en la ecuación de Slutsky.

La disminución de la demanda total en $x$ es $3$ Es decir, $$x_0 - x_1 = 4 - 1 = 3.$$

El cambio de la demanda en $x$ , manteniendo $U$ fijada en 2 es: $$x^{c}_0 - x^{c}_1 = 4 - 2 = 2.$$

Para arreglar $U$ a 2 bajo el nuevo precio $p_x = 4$ El consumidor necesita que los nuevos ingresos sean $I_1 = 16$ en lugar de 8. Con \$16, the consumer buys 2 units for both $ x $ and $ y $. If we do not fix $ U $ at 2 when $ p_x $ increases, which means we allow income to decrease from 16 to 8. The demand reduction in $ x $ induced by this \$ 8 disminución de los ingresos es: $$0.5 \times 16 \div 4 - 0.5 \times 8 \div 4 = 2 - 1 = 1.$$

Por lo tanto, tenemos $3 = 2 + 1$ como nos dice la ecuación de Slutsky.