¿Cómo demostrar que no hay arbitraje cuando una mariposa larga es estrictamente positiva?

Question

Quiero demostrar por qué no hay oportunidades de arbitraje cuando una mariposa larga es estrictamente positiva. Sé que hay un tema similar por ahí, pero parece que no resuelve mi pregunta: Demuestra que la condición de mariposa es siempre mayor que cero .

Por la paridad de llamada-posición, sé

$C(T,K+∆K)-2C(T,K)+C(T,K-∆K) \geq 0$

es válida, pero ¿cómo demostrar la positividad estricta? Sé que tiene sentido que una mariposa larga sea estrictamente positiva en condición de no arbitraje. Pero no sé cómo conseguirlo matemáticamente. Espero poder tener alguna idea aquí.

Answer 1

No sé por qué la pregunta a la que enlazas no da respuesta. Intentaré responderla pero en realidad es similar a lo que ya se ha dicho allí. La conclusión es: si el valor $K$ es alcanzable por el activo subyacente $S$ Es decir $K$ pertenece al dominio del proceso $S$ , entonces la mariposa debe ser estrictamente positiva .

En primer lugar, hay que tener en cuenta que la mariposa es en realidad una aproximación de la segunda derivada respecto al golpe: $$\lim_{h \rightarrow 0}\frac{C(t,K+h)-2C(t,K)+C(t,K-h)}{h^2}=\frac{\partial^2C}{\partial K^2}(t,K)$$ donde obviamente $h^2>0$ . Sin embargo, por la fórmula Breeden-Litzenberger, sabemos que: $$\frac{\partial^2C}{\partial K^2}(T,K)=e^{-rt}q(t,K)\geq 0$$ donde $q$ es la densidad neutral de riesgo del subyacente $S$ y $r$ el tipo sin riesgo. Ahora se ve que si $K$ es un valor que $S$ puede alcanzar, es decir $K$ pertenece al dominio de $S$ entonces la densidad de $S$ en $K$ debe ser estrictamente positivo, es decir: $$C(t,K+h)-2C(t,K)+C(t,K-h)\approx h^2e^{-rt}q(t,K)>0$$

Si vamos más allá, introduzcamos la función delta de Dirac $\delta$ que se caracteriza por la siguiente propiedad para cualquier función de valor real $f$ : $$\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)f(x)dx=f(0)$$ Por lo tanto, la densidad puede expresarse como $$q(t,K)=\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(s-K)q(t,s)ds=E^Q\left(\delta(S_t-K)\right)$$ Es decir, la densidad neutra al riesgo corresponde al precio de un pago que es no negativo en todas partes y estrictamente positivo para un estado del mundo, es decir, si $S_t=K$ $-$ informalmente el pago sería infinito si $S_t=K$ Ver la definición de la delta de Dirac. Por lo tanto, para evitar el arbitraje el precio de este reclamo, $e^{-rt}q(t,K)$ debe ser estrictamente positivo.

Answer 2

Como se ha dicho correctamente en la pregunta todas las opciones de mariposa larga tienen que tener una prima no negativa para que el No-arbitraje se mantenga. Así que podemos decir que

El no arbitraje implica que todos los diferenciales Butterfly tienen una prima no negativa prima.

Sin embargo, lo contrario no es cierto. El hecho de que todos los spreads de mariposa tengan primas no negativas no significa que no haya arbitraje. Existe un conocido papel por Davis y Hobson. Exponen las condiciones necesarias y suficientes para que los precios de las opciones cumplan con el no arbitraje. Su notación es un poco difícil de acostumbrarse. Así que aquí hay un resumen rápido (y un poco descuidado) del teorema 3.1.

No hay arbitraje en el mercado si y sólo si

1. Todos los diferenciales de Butterfly tienen una prima no negativa
2. Todos los call-spread (es decir, la opción larga con strike K1 y la opción corta con strike K2>K1) tienen una prima no negativa.
3. Los diferenciales de compra no son demasiado caros (por lo que existe un límite superior en las primas de los diferenciales de compra).
4. La prima de un call spread sólo puede ser cero si ambas opciones de compra tienen prima cero.

Los autores distinguen entre el arbitraje independiente del modelo y el arbitraje débil. Demuestran que si las condiciones 1., 2. o 3. fallan, existe un arbitraje independiente del modelo. Si la condición 4. falla, existe un arbitraje débil.

Volviendo a su pregunta, he aquí un ejemplo sencillo de por qué las primas de mariposa positivas no garantizan el no arbitraje:

Dejemos que $K_1 = 1, K_2 = 2, K_3 = 3$ ser tres strikes y $p_1 = 1, p_2 = 4, p_3 = 8$ sean las primas donde $p_i$ es la prima de la opción de compra con strike $K_i$ . Además, suponemos que la tasa libre de riesgo es igual a cero. La opción mariposa correspondiente $$ \frac 12 C_1 - C_2 + \frac 12 C_3 $$ tiene una prima de $$ p_{\text{butterfly}} = \frac 12 p_1 - p_2 + \frac 12 p_3 = \frac 12 > 0. $$ Pero hay una oportunidad de arbitraje. Simplemente ir en largo en $C_1$ y corta en $C_2$ resulta en una oportunidad de arbitraje.

Espero que esto haya sido útil.