Estoy leyendo la parte de la construcción del precio de B&S para las acciones que pagan dividendos. El modelo más simple utiliza el dividendo de rendimiento continuo. Pero no puedo ver que rigurosa en términos de formulaciones.
En primer lugar, en caso de impago de dividendos. Empezamos por $$ \frac{dS_t}{S_t} = \mu dt + \sigma d\hat{W}_t \hspace{1cm} \frac{dB_t}{B_t}=rdt $$ Entonces, aplicando Girsanov, transformando $\hat{W}_t \rightarrow W_t $ con prima de riesgo $\frac{r-\mu}{\sigma}$ tenemos $$ \frac{dS_t}{S_t} = r dt + \sigma dW_t \hspace{1cm} \frac{dS^*_t}{S^*_t}=\sigma dW_t $$ Bajo esta medida martingala y la browniana asociada, la cartera de autofinanciación se define por $$ V_t = H^1 S_t + H^2 B_t \hspace{1cm} dV_t = H^1 dS_t + H^2 dB_t $$ La consecuencia importante es que el proceso de autofinanciación descontado y el proceso de Stock descontado, $V^*_t$ y $S^*_t$ son martingalas, por lo que se puede construir una cartera de réplica para cualquier reclamo del continente en el momento $T$ aplicando el "teorema de la representación de Martingale".
Ahora entrando en el caso con el pago continuo de dividendos, después de lo que he visto en el libro de Musiela[1], supuso $$ dQ_t = q S_t dt $$ A continuación, defina un "proceso de stock" auxiliar $\tilde{S}_t = e^{qt} S_t$ e iniciar la formulación mediante este proceso $$ \frac{d\tilde{S}_t}{\tilde{S}_t} = (\mu+q) dt + \sigma d\hat{W}_t \hspace{1cm} \frac{dB_t}{B_t}=rdt $$ Entonces, aplicando Girsanov, transformando $\hat{W}_t \rightarrow \tilde{W}_t $ con prima de riesgo $\frac{r-\mu - q}{\sigma}$ tenemos $$ \frac{d\tilde{S}_t}{\tilde{S}_t} = r dt + \sigma d\tilde{W}_t \hspace{1cm} \frac{d\tilde{S}^*_t}{\tilde{S}^*_t}=\sigma d\tilde{W}_t $$ La cartera de autofinanciación se convierte en $$ V_t = H^1 e^{-qt} \tilde{S}_t + H^2 B_t \hspace{1cm} dV^*_t = H^1 e^{-qt} d\tilde{S}^*_t $$ Las cosas suenan bien hasta ahora, y después. Pero el punto que no entiendo es que la cartera descontada no es una martingala (ni local martin gal ??). En este caso, no podemos aplicar el "teorema de la representación de la martingala", y la construcción de la cartera replicante fallará. Sin embargo, en el libro, no menciona este punto, y sigue aplicando la fórmula de fijación de precios, sin demostrar $V^*_t$ es un marginal bajo la medida transformada.
¿Puede alguien ayudarme en este punto? ¿O esto no es tan sencillo y se necesita una formulación más sofisticada?
1] "Martingale Methods in Financial Modelling" _ Marek Musiela, Marek Rutkowski 2004, §3.2.1, p.148
