Acerca de la rentabilidad logarítmica en el modelo Black&Scholes

Question

Estoy estudiando el modelo Black&Scholes y no estoy seguro de lo siguiente: ¿la rentabilidad logarítmica, digamos r, no evoluciona en el tiempo? Es decir, dr/dt = 0, ¿su derivada es cero? ¿Sólo evoluciona en el tiempo su media, es decir, d media(r)/dt = algo? Gracias.

Answer 1

Se supone que el tipo sin riesgo es constante, véase por ejemplo Wikipedia :

(tipo sin riesgo) El tipo de rendimiento del activo sin riesgo es constante, por lo que se denomina tipo de interés sin riesgo.

Con la medida neutral al riesgo (en la que la fijación de precios se realiza mediante la fórmula Black-Scholes), la rentabilidad de la acción es igual al tipo sin riesgo.

Answer 2

Permítanme intentar responder. En el modelo Black-Scholes, tenemos la siguiente dinámica para una acción Precio $S_t$ :

$$S(t)=S(0)+\int^{t}_{0}r S(h)dh+\int^{t}_{0}\sigma S(h)dW(h)$$

La notación abreviada de lo anterior sería:

$$dS_t= r S_t dt+\sigma S_tdW_t$$

Las dos ecuaciones son la misma cosa (sólo dos notaciones diferentes) y la solución a ambas es el proceso log-normal:

$$S_t = S_0exp{(rt+0.5\sigma^2t+ \sigma W(t)})$$

En log-return se define como $ln\left(\frac{S_t}{S_0}\right)$ así que podemos verlo fácilmente:

$$ln\left(\frac{S_t}{S_0}\right)=rt+0.5\sigma^2t+ \sigma W(t)$$

Puede ver que el log-return es Normalmente distribuida con media $=rt+0.5\sigma^2t$ y desviación típica $=\sigma \sqrt(t)$ (¿Por qué? por definición $\sigma W(t)$ se distribuye normalmente con media cero y desviación típica igual a $\sigma \sqrt(t)$ ) .

Así pues, el rendimiento logarítmico evoluciona en el tiempo: es un proceso estocástico que se distribuye normalmente en torno a su media (dependiente del tiempo) y tiene una desviación típica (dependiente del tiempo). Si representamos el rendimiento logarítmico en los ejes x-y, siendo y el tiempo y x el rendimiento logarítmico, podemos verlo como una línea recta con pendiente $rt$ donde la distribución Normal del log-rendimiento se centra tangencialmente en esta línea recta. A medida que pasa el tiempo, la desviación típica de esta distribución Normal en torno a la recta es cada vez mayor.