Soluciones límite en el problema de maximización de la utilidad

Question

Estoy tratando de encontrar soluciones de frontera para el siguiente problema de maximización de la utilidad, pero no estoy seguro de cómo proceder. Aquí está el problema y lo que tengo hasta ahora:

$ \max x_1^\alpha + x_2 \qquad \text{s.t.}\ x_1 \geq 0,\ x_2 \geq 0,\ p_1x_1 + p_2x_2 \leq w$

donde $\alpha \in [0,1]$ . Las condiciones de Kuhn-Tucker son

$\begin{equation} \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_1} = \alpha x_1 ^{\alpha -1} - \lambda p_1 + \mu_1=0,\\ \dfrac{\partial \mathcal{L}}{\partial x_2} = 1 - \lambda p_2 + \mu_2 =0,\\ p_1x_1 + p_2x_2 \leq w,\\ x_1\geq 0,\\ x_2 \geq 0,\\ \lambda(p_1x_1 + p_2x_2-w)=0,\\ \mu_1x_1 = 0,\\ \mu_2x_2=0,\\ \lambda \geq 0, \quad \mu_1 \geq 0, \quad \mu_2 \geq 0.\\ \end{equation}$

Si considero las soluciones de frontera con $x_1=0$ y $x_2>0$ entonces por la condición de holgura complementaria tenemos $\mu_1 \geq 0$ y $\mu_2=0$ .

Desde $\nabla u(x_1,x_2) \gg 0$ y $p_1,p_2 > 0$ , $\lambda > 0$ . La restricción del conjunto de presupuestos es vinculante (la ley de Walras se cumple). Por lo tanto, mi candidato para el óptimo es $x_2=w/p_2$ .

Las condiciones necesarias (y en este caso también suficientes) de Kuhn-Tucker para $x_2=w/p_2$ siendo óptimo restringir a

$\begin{equation} \alpha x_1 ^{\alpha -1} \leq \lambda p_1 ,\\ 1 = \lambda p_2,\\ x_1 = 0,\\ x_2 \geq 0. \end{equation}$

Dividiendo la primera condición por la segunda obtenemos

$MRS_{1,2}(x_1,x_2)= \alpha x_1 ^{\alpha -1} \leq \dfrac{p_1}{p_2}$

pero entonces no sé cómo proceder.

Answer 1

Salvo en los casos extremos $\alpha=0$ y $\alpha=1$ no existe ninguna solución de frontera con $x_1=0$ . Obsérvese que la utilidad marginal del bien 2 es constante, mientras que la utilidad marginal límite para $x_1\to 0$ es infinito. Así que el consumidor siempre consumirá un poco de $x_1$ .

Answer 2

Un tema interesante surgió al intercambiar comentarios relacionados con @MichaelGreineckeranswer. Así que vamos a explorar esto formalmente

Afirmación: No hay límites solución con $x_1 = 0$ .

El agotamiento del presupuesto se mantiene, así que con $x_1 = 0$ tendremos $U=x_2 = w/p_2$ . Así que, para intentar refutar la afirmación, examinamos bajo qué condiciones se cumple la siguiente desigualdad:

$$\frac{w}{p_2} > x_1^{\alpha} + x_2,\quad p_1x_1 + p_2x_2 = w.$$

Utilizando la restricción presupuestaria para resolver $x_2$ podemos reescribir esto

$$\frac{w}{p_2} > x_1^{\alpha} + \frac{w-p_1x_1}{p_2}\;\implies\; \frac{p_1}{p_2}x_1 > x_1^{\alpha} \implies x_1^{1-\alpha} > \frac{p_2}{p_1}$$

$$ \implies x_1 > \left(\frac{p_2}{p_1}\right)^{1/(1-\alpha)} \tag{1}$$

Así hemos obtenido: La utilidad de consumir $x_2$ será mayor que la utilidad de cualquier plan de consumo en el que el paquete de consumo incluya una cantidad de $x_1$ más alto que el lado derecho de $(1)$ .

La palabra crucial es "mayor", porque implica que los paquetes que incluyen cantidades estrictamente positivas de ambos $(x_1, x_2)$ y mientras la cantidad de $x_1$ es baja que el lado derecho de $(1)$ son superiores en términos de utilidad que consumir $x_2$ sólo.

Así que @MichaelGreinecker tiene razón: el conjunto de soluciones no incluye un paquete con cero $x_1$ .