Cálculo de la sensibilidad de las opciones de la cesta

Question

Estoy buscando encontrar/estimar las sensibilidades/derivadas del precio de la opción para una situación de opción de cesta. En concreto, el cambio en el precio de una opción de venta asociado a un cambio en el peso de un determinado activo en una cartera. Creo que un método de diferencias finitas (FDM) con simulaciones MCMC funcionaría para una situación de dos activos, pero no estaba seguro de cómo llevarlo a cabo para más de dos activos.

Digamos que tienes tres activos/acciones (sin dividendos): A,B,C en una cesta con sus respectivas rentabilidades medias estimadas, desviaciones estándar estimadas y matriz de correlaciones/covarianzas estimadas. En lugar de tres strikes para cada activo, tiene un único strike de cartera que está un 10% por debajo de la cartera "actual". Las ponderaciones de la cartera "actual" son presentadas/dadas por el "cliente".

Se puede simular de forma relativamente sencilla mediante MCMC las tres acciones, y asignar las ponderaciones dadas a partir de la iniciación para calcular el valor final de la cartera (suponiendo que no hay reequilibrio), y estimar varias griegas "estándar". Y para una cartera de dos activos, el weight of asset 2 es sólo 1 - weight of asset 1 Por lo tanto, en términos de encontrar el cambio en el precio de la opción debido a un cambio en el peso de cada activo, lo que originalmente parecía un problema de dos variables, (es decir, encontrar el cambio en el precio de la opción cambiando el peso del activo 1 y del activo 2), se convierte en un problema de una variable, ya que cualquier cambio en el peso del activo 1 cambiará implícitamente el peso del activo 2, lo que facilita la simulación y el cálculo de las sensibilidades. Pero esta simplificación/reducción de dimensiones no existe para una situación de tres o más activos, así que me preguntaba cómo se haría para una situación de tres o más activos.

Answer 1

Yo definiría los pesos $w_1,\ldots,w_n$ como el número que quieras y la cesta dada por $$ B_t = \sum_{i=1}^n \frac{w_i}{W}S_t^{(i)}\ , \qquad W = \sum_{i=1}^nw_i $$ para que los pesos siempre sumen uno.

Sin embargo, esto no tiene mucho sentido, ya que se está cambiando el producto, no una variable de mercado. Esto significa que cuando los pesos cambian, la cesta se descuenta y no se puede replicar.

La única forma de replicar la cesta sería mantener el rendimiento pasado fijo como $$ B_{t} = \frac{B_{t_1}^1}{B^1_{t_0}}\times \cdots \times \frac{B_{t_k}^k}{B_{t_{k-1}}^k}\times \frac{B_t^{k+1}}{B_{t_k}^{k+1}} $$ Donde cada $t_i$ es un momento en el que se reequilibran los pesos, y cada $B^i$ es una base de datos con las ponderaciones definidas durante el periodo $[t_{i-1},t_i)$ .

Answer 2

Quizá no sea una solución concreta a tu problema, pero el espacio en los comentarios es limitado :)

En su configuración, no está valorando una opción sobre una cesta, sino sobre una cartera asignada dinámicamente. Por lo tanto, los enfoques convencionales de fijación de precios y cobertura no se aplican.

También estás subestimando los algaritmos de optimización de la cartera. Para encontrar una estrategia óptima hay que tener en cuenta la sensibilidad del peso.

Aquí un ejemplo fácil:

Digamos que quieres tener una asignación estática en $t=0$ que le da el mayor valor esperado de la cartera en $T$ . Por lo tanto, se configura la cartera una vez y se deja reposar hasta la madurez, por lo que los pesos no cambian.

Ahora supongamos el valor esperado de la cartera en $T$ está dada por alguna función continua $\mathbb{E}[P_T]=f(w_1,w_2,w_3,\vec{a})$ donde $\vec{a}$ es un vector de parámetros del modelo del mercado de capitales (por ejemplo $\mu, \sigma$ en el caso de B&S) y el $w_i$ son los pesos de sus tres acciones (con $w_1+w_2+w_3=1$ )

Digamos que los parámetros de tu modelo no cambian con el tiempo. Para optimizar $\mathbb{E}[P_T]$ hay que ejecutar un algoritmo de optimización multidimensional en $f(w_1,w_2,w_3,\vec{a})$ con respecto a $(w_1,w_2,w_3)$ Se trata, pues, de un problema tridimensional. Algoritmos como el gradiente decente o levenberg marquardt utilizar explícitamente las derivadas para encontrar la solución. Para una aplicación concreta del descenso de gradiente a un problema de selección de cartera conferir el siguiente papel .

Algunas reflexiones más: Su enfoque también podría considerarse como una forma de analizar cómo se comportan las opciones sobre fondos de renta variable ante cambios en la composición del fondo. Yo diría que esto ya está parcialmente cubierto por la sensibilidad de la opción a los cambios en la volatilidad. Si cambia la composición de su cartera añadiendo más acciones volátiles, la volatilidad efectiva de su proceso de valor del fondo aumentará.