Equilibrios de Nash en el juego de destrucción de objetivos

Question

El Ejército A tiene un solo avión que puede atacar uno de los tres objetivos posibles, A, B y C. El Ejército B tiene un cañón antiaéreo que puede ser asignado a uno de los tres objetivos para protegerlo. El valor de cada objetivo, $v_k$ es $v_A>v_B>v_C>1$ . El Ejército A puede destruir el objetivo sólo cuando está desprotegido y A ataca. El Ejército A desea maximizar el daño mientras que el Ejército B desea minimizarlo. Encuentra todos los Equilibrios de Nash.

Intenté formular el juego en un $3*3$ juego de matriz de pago, dando al Ejército A $0$ si el objetivo al que apuntaba estaba vigilado y el valor del objetivo si no estaba vigilado. Del mismo modo, para los pagos del Ejército 2, asigné $-v_k$ sumado a las valoraciones de otros dos objetivos que no fueron destruidos, si el Ejército A logró destruir el objetivo y $v_A+v_B+v_C$ si el Ejército A no lograba destruir ningún objetivo, es decir, apuntando a un puesto vigilado. Dada esta configuración, encontré que no había ningún Equilibrio de Nash de Estrategia Pura en el juego. No sé cómo proceder con los Equilibrios de Nash de Estrategia Mixta, si es que hay alguno.

Tengo muchas dudas sobre el enfoque que he intentado emplear. ¡Agradecería mucho un poco de ayuda!

Answer 1

Disculpen el formato para la forma normal del juego. Este es un juego de suma cero, por lo que he escrito sólo las compensaciones para el atacante:

$$\begin{pmatrix} A|D & a & b & c\\ \hline a & 0 & v_{A} & v_{A}\\ b & v_{B} & 0 & v_{B}\\ c & v_{C} & v_{C} & 0 \end{pmatrix}$$

Evidentemente, puesto que $v_{A} > v_{B} > v_{C}$ puede haber retribuciones tales que exista alguna $\lambda$ tal que $(1-\lambda)v_{B} > v_{C}$ y $\lambda v_{A} > v_{C}$ .

En primer lugar, supongamos que los parámetros son tales que existe un $\lambda$ Por ejemplo $v_{A} = 20$ , $v_{B} = 10$ y $v_{C} = 1$ . En este caso, $c$ está estrictamente dominada, por lo que podemos eliminar $c$ del soporte de la estrategia mixta del atacante, por lo que también podemos eliminar $c$ del apoyo de la estrategia mixta del defensor. Escriba la nueva matriz como

$$\begin{pmatrix} A|D & a & b\\ \hline a & 0 & v_{A}\\ b & v_{B} & 0\\ \end{pmatrix}$$

Por lo tanto, el único equilibrio de estrategia mixta es $p := \Pr(a|A) = \frac{v_{B}}{v_{A}+v_{B}}$ y $q := \Pr(a|D) = \frac{v_{A}}{v_{A}+v_{B}}$ . Obsérvese que como el valor de target $A$ aumenta, el atacante realmente lo atacará más con poca frecuencia .

Si, $c$ no está dominado (estricta o débilmente) entonces el álgebra se vuelve más tediosa, pero el equilibrio único será una estrategia mixta con soporte completo sobre las tres estrategias puras. Te lo dejo a ti.

Por último, les dejo el caso en el que $c$ es sólo débilmente dominado. Pista: En general puede haber estrategias débilmente dominadas en apoyo de un equilibrio de estrategia mixta, pero si la estrategia mixta del adversario tiene apoyo total, no puede haberlas.