Condición de primer orden de las funciones logarítmicas en general e interpretación

Question

A continuación, se calcula una condición de primer orden para una función logarítmica.

Sé cómo se ha calculado la parte de la izquierda, sin embargo, estoy un poco confundido de dónde sale la gamma del sitio de la derecha sin tener más conocimientos sobre la función concreta de N. ¿Podría alguien explicarlo?

¿Y por qué se pueden interpretar estos resultados como elasticidad?

Información: R(a) es el ingreso por publicidad de una plataforma i que depende del nivel de publicidad a. N es el número de espectadores que depende de la molestia de la publicidad de la plataforma i y de las otras plataformas -i. El problema de maximización consiste en elegir el nivel óptimo de anuncios a.

Answer 1

Sólo proviene de la derivada de la función de beneficio. Supongo que $a_i$ es la variable de elección aquí, por lo que la derivada de $\pi$ En $a_i$ es (paso a paso):

$$\frac{\partial \pi}{ \partial a_i} = \frac{\partial \pi}{ \partial a_i} [ \ln R(a_i) ] + \frac{\partial \pi}{ \partial a_i} [ \ln N_i(\gamma a_i, \gamma a_{-i}) ] \\ = \frac{1}{ R(a_i)} R'(a_i) + \frac{1}{ N_i(\gamma a_i, \gamma a_{-i})} N_i'(\gamma a_i, \gamma a_{-i}) \gamma $$

La gamma del final salta por la regla de la cadena. Si tiene $G(H(F(x)))$ entonces $\frac{dG}{dx} = \frac{dG}{dH} \frac{dH}{dF}\frac{dF}{dx}$ . Simplemente hay que darse cuenta de que $\gamma a_i = F(a_i) $ .

Por último, para derivar el FOC sólo hay que poner a cero la última ecuación anterior y ya está:

$$\frac{1}{ R(a_i)} R'(a_i) + \frac{1}{ N_i(\gamma a_i, \gamma a_{-i})} N_i'(\gamma a_i, \gamma a_{-i}) \gamma = 0 \\ \frac{ R'(a_i)}{ R(a_i)} = - \gamma \frac{ N_i'(\gamma a_i, \gamma a_{-i})}{ N_i(\gamma a_i, \gamma a_{-i})} $$

En resumen, el $-\gamma$ está ahí debido a la regla de la cadena, no hay nada especial aparte de tomar la derivada está pasando aquí.

PD: Me acabo de dar cuenta de que olvidé explicar por qué se pueden interpretar como elasticidades, pero la gran respuesta +1 de Herr K. ya lo hizo, así que no lo repetiré innecesariamente aquí.

Answer 2

El $\gamma$ en el lado derecho proviene de la aplicación de la regla de la cadena al diferenciar el segundo término con respecto a $a_i$ .

En cuanto a la elasticidad, hay que tener en cuenta que con una función diferenciable $f$ la relación $f'(x)/f(x)$ puede interpretarse como el variación porcentual del valor de $f$ alrededor de $x$ . Así que aislar $\gamma$ de la FOC, obtendrás una expresión para la elasticidad, que podrás interpretar en el contexto de tu problema.