Estrategia de réplica de una cartera con retribución $\int_0^T \frac{dS_t}{S_t}$

Question

Dado el precio del activo $S_t$ que se define como sigue $$\frac{dS_t}{S_t}= r_tdt+\sigma_tdW_t$$ donde $r_t$ no es necesariamente determinista.

¿Cuál es la estrategia de replicación de la cartera con el pago $\int_0^T \frac{dS_t}{S_t}$ ?

Mi intento:

De hecho, puedo resolver este problema sólo para el caso especial en el que $r_t$ es determinista. Para simplificar, proporciono la solución para un caso más sencillo en el que $r_t =r$ constante.

Vamos $V_t$ la cartera de réplicas de $\int_0^T \frac{dS_t}{S_t}$ tenemos \begin {align} V_t &=e^{-r(T-t)}E^{ \Bbb Q}[ \int_0 ^T \frac {dS_u}{S_u}| \mathcal {F}_t] \\ &=e^{-r(T-t)} \int_0 ^t \frac {dS_u}{S_u}+e^{-r(T-t)}E^{ \Bbb Q}[ \int_t ^T (rdu+ \sigma_udW_u )| \mathcal {F}_t] \tag {1} \\ &=e^{-r(T-t)}( \int_0 ^t \frac {dS_u}{S_u}+r(T-t)) \tag {2} \\ \end {align}

De (2), aplicando el lema de Ito, obtenemos fácilmente que \begin {align} dV_t &= re^{-r(T-t)}( \int_0 ^t \frac {dS_u}{S_u}+r(T-t))dt +e^{-r(T-t)}( \frac {dS_t}{S_t}-rdt) \\ &= r(V_t-e^{-r(T-t)})dt+e^{-r(T-t)} \frac {dS_t}{S_t} \tag {3} \\ \end {align}

A partir de (3), obtenemos que podemos replicar $V_t$ (que es igual a $\frac{e^{-r(T-t)}}{S_t}S_t+ \frac{V_t-e^{-r(T-t)}}{B_t}B_t$ ) invirtiendo $e^{-r(T-t)}$ en el activo $S_t$ en el momento $t$ y el resto de la cartera $(V_t-e^{-r(T-t)})$ en efectivo.

El problema:

Para el caso general en el que $r_t$ es estocástico, no sé cómo deducir (2) de (1), o (3) de (2).

Supongo que la estrategia en el caso general debe ser invertir $P(t,T)$ en el activo $S_t$ ( $P(t,T)$ es el precio del bono cupón cero entre $t$ y $T$ ) y el resto de la cartera en efectivo. Pero no sé cómo demostrarlo.

El bono de cupón cero $P(t,T)$ se especifica mediante

$$\frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_tdt + \gamma_t dB_t$$

Para simplificar, supongamos que la correlación entre $B_t$ y $W_t$ sea cero ( $\left<dB_t,dW_t\right> = 0$ )

Answer 1

En realidad es bastante sencillo: basta con mantener $\frac{1}{S_t}$ ¡unidades de la acción en todo momento! Entonces, no importa si los tipos o las volatilidades son estocásticos, la variación del valor de su cartera es $\frac{dS_t}{S_t}$ en todo momento y, por tanto, el valor terminal de su cartera es $$ \int_0^T{\frac{\mathrm{d}S_t}{S_t}} $$

Answer 2

Por tanto, basta con suponer la existencia de bonos de cupón cero. No tenemos que especificar nada más.

Definir primero

$$ X_t = \int_0^t \frac{dS_u}{S_u} $$

Entonces $$ dX_t = \frac{dS_t}{S_t} $$

Tenga en cuenta que $$ X_T = \frac{X_T}{P_T} = \int_0^T d \left( \frac{X_t}{P_t} \right) $$ desde $P_T = 1$ y $X_0 = 0$ .

En el marco de la $T$ -medida anticipada $X_t/P_t$ es una martingala, lo que demuestra de nuevo que el precio actual de la demanda es $0$ .

Nos interesa principalmente la expresión en el integrando: $$ d \left( \frac{X_t}{P_t} \right) = \frac{1}{P_t} dX_t - \frac{X_t}{P_t^2} dP_t + O(dt) $$ No nos interesan los términos de Ito ya que suman cero (PDE de precios).

Así que la réplica debería ser $$ \frac{1}{P_t S_t} dS_t - \frac{1}{P_t^2} \left( \int_0^t \frac{dS_u}{S_u} \right) dP_t $$

Creo que esta es la manera de hacerlo.