Convertir las tasas de crecimiento per cápita para subgrupos en contribución a la tasa de crecimiento per cápita total

Question

Se proporciona la deuda total para el segundo trimestre de 2003 y el segundo trimestre de 2004 para la población en general y cuatro grupos de edad. Los cuatro grupos de edad representan colectivamente a toda la población y sus tenencias de deuda representan la deuda total en general.

Trimestre, Grupo_de_Edad, Población, Deuda_Total, Deuda_Per_Cápita      
Q2 2003,0,1000,10000,10
Q2 2003,1,250,3000,12
Q2 2003,2,400,5000,12.5
Q2 2003,3,250,1500,6
Q2 2003,4,100,500,5

Q2 2004,0,1300,15000,11.5
Q2 2004,1,380,4000,10.5
Q2 2004,2,450,7000,15.6
Q2 2004,3,270,2500,9.3
Q2 2004,4,200,1500,7.5

La tasa de crecimiento per cápita para el grupo de edad 0, representante de la tasa de crecimiento per cápita total es del 15 por ciento. ¿Pero cómo se convierten las tasas de crecimiento per cápita individuales en la contribución a la tasa total? ¿Quizás ponderando según las participaciones de la población? Tomar un promedio ponderado de las tasas de crecimiento per cápita da aproximadamente un 6 por ciento. Dividir el cambio en la deuda per cápita para cada uno de los grupos sobre el nivel de deuda per cápita de la población no funciona como lo haría al usar la deuda total. El resultado debería ser r1 + r2 + r3 + r4 = r0 donde rn es la tasa de crecimiento para el grupo de edad n.

Answer 1

El problema es que tienes dos definiciones inconsistentes de tasa de crecimiento.

Una está impulsada por la deuda per cápita en toda la población.

La otra por la deuda per cápita dentro de cada subgrupo.

Estas son inconsistentes, porque diferentes subgrupos tienen diferentes deudas bases en Q2, y diferentes tamaños de población. Dado que ambas cosas son diferentes, y ambas son divisores en el cálculo de tu estadística de interés, simplemente reponderar por tamaño de población no puede solucionar el problema.

Entonces puedes calcular una contribución significativa de cada uno a la tasa de crecimiento total, de manera que juntos satisfagan r1 + r2 + r3 + r4 = r0. Pero entonces los r1 a r4 individuales no significarán mucho dentro de sus propios grupos, solo en términos de su contribución al todo. O puedes calcular tasas de crecimiento para cada subgrupo, como has hecho en tu pregunta, pero entonces no significarán mucho en el contexto general.

Answer 2

Si las poblaciones iniciales son $p_1, p_2, p_3, p_4$ y las tasas de crecimiento de la población son $g_1, g_2, g_3, g_4$ y las deudas per cápita iniciales son $d_1, d_2, d_3, d_4$ y el crecimiento en las deudas per cápita es $r_1, r_2, r_3, r_4$ entonces si insistes en algún tipo de suma ponderada entonces podrías utilizar algo como:

$r_0= \displaystyle \sum _i \tfrac{ \left(\sum_j p_j\right)p_i(1+g_i)d_i}{\left(\sum_j p_j d_j\right) \left(\sum_j p_j(1+g_j)\right)}(1+r_i) - 1$

pero seguramente encontrarías más fácil calcular los totales intermedios de población y deuda

Answer 3

Primero, calcular el crecimiento total en dólares para cada año.

Luego, dividir este valor por la deuda total.