Derivación del tipo de interés a plazo

Question

Quiero fijar el precio de un futuro a 1 año bajo la condición de no arbitraje y basado en el LOOP. En el momento T, vendo la moneda Z y compro la moneda L. En el momento $t$ definimos el tipo de cambio como $ZL_t$ . Los tipos libres de riesgo a 1 año se componen anualmente para $(1+i_t^{Z})$ y $(1+_t^{L})$ respectivamente. No queremos cambiar el dinero en el momento $t$ así que tenemos que acordar el valor $K_t$ otra condición es que tenemos que calcular $K_t$ tal que el futuro es igual a 0 en $t$ .

Ahora bien, he tenido algunos cursos en los que principalmente utilizamos acciones como ejemplo y luego tenemos que satisfacer la condición $K_t = S_te^{r(T-t)}$ . Sin embargo, estoy confundido sobre cómo derivar $ZL_t$ en las condiciones mencionadas, ya que se trata de un tipo de cambio y me cuesta un poco entenderlo. Así que básicamente introducimos $F = ZL_t \frac{(1+i_t^{L})}{(1+i_t^{Z})}$

Answer 1

Para mayor claridad, reemplazaré $ZL_t$ con $X_t^{ZL}=X_t$ con el significado: en el momento $t$ , $1$ unidad monetaria $Z$ (activo, extranjero, sobreZee) se puede comprar con $X_t$ unidades de moneda $L$ (numeraire, domestic, Local).

Si $$ K < X_{t_0}(1+ i^L)(1+i^Z)^{-1}, $$

entonces, en el momento $t_0$ se puede

• Ir a largo el contrato a plazo que permite comprar $1+i^{Z}$ unidades de $Z$ moneda en $K$ tipo de cambio, en el momento $T$ (un año desde $t_0$ para mantener las fórmulas más limpias),
• pedir prestado $1$ unidad de $Z$ moneda en $i^Z$ tipo de interés y convertir a $L$ moneda, y
• prestar el $X_{t_0}$ unidades de $L$ moneda obtenida de la conversión en $i^L$ tipo de interés.

En $t_0$ el valor de esta cartera es $0$ pero en el momento $T$ su valor (en moneda $L$ )

$$ (1+i^Z)\cdot (X_T -K) -(1+i^Z)\cdot X_T + (1+i^L)\cdot X_{t_0} $$ $$ = -(1+i^Z)K + X_{t_0} (1+i^L) $$ es estrictamente positivo.

La desigualdad inversa tampoco puede sostenerse basándose en los argumentos del arbitraje de espejo.