Considere el modelo \begin {align*} \mathrm {d}S_t &=rS_t \mathrm {d}t+ \sigma_tS_t\mathrm {d}W_{1,t}, \\ \mathrm {d} \sigma ^2_t &= \alpha \sigma_t ^2 \mathrm {d}t+ \xi\sigma_t ^2 \mathrm {d}W_{2,t}, \end {align*} donde los movimientos brownianos $(W_{1,t})$ y $(W_{2,t})$ son independientes. Denotemos la varianza promediada por $$\bar{V}=\frac{1}{t}\int_0^t\sigma_s^2\mathrm{d}s.$$
En su documento (página 284), Casco y blanco demostrar en un lema que el condicional distribución de $\ln\left(\frac{S_t}{S_0}\right)$ dado el valor $\bar{V}$ es normal. Por lo tanto, se puede valorar las opciones con la maquinaria estándar de Black-Scholes sustituyendo el parámetro constante de Black-Scholes $\sigma^2$ con el promedio de tiempo $\bar{V}$ . Esto sólo es válido si la varianza condicional está impulsada por un movimiento browniano independiente.
La ecuación \begin {align*} \mathrm {Llamada}= \int_0 ^ \infty \mathrm {BlackScholes}( \sigma ) \cdot f( \sigma ) \mathrm {d} \sigma \end {align*} se desprende de la fijación de precios neutrales al riesgo y puede considerarse como una expectativa neutral al riesgo del precio de compra. Se toma la expectativa del precio terminal de la acción con respecto al precio de la acción (que da el precio de Black Scholes) y luego la expectativa con respecto a la varianza condicional. Compare su ecuación (7) con su ecuación (8), donde la integral interna es igual al precio Black-Scholes (si los movimientos brownianos son independientes).
Hull y White también muestran cómo el signo del coeficiente de correlación (que gobierna la asimetría de la distribución) conduce a mayores o menores precios de las opciones OTM (o ITM) si se incorpora la correlación entre los rendimientos y su varianza (efecto palanca).
Por último, el modelo de Hull y White utiliza un movimiento browniano geométrico para $(\sigma_t^2)$ que es un proceso de no-reversión de la media que no es lo que esperamos de un modelo de volatilidad sensato. La reversión de la media es capturada por Stein & Stein y Schöbel Zhu (sin embargo, con valores potencialmente negativos para la varianza debido al proceso Ornstein Uhlenbeck empleado) y por Heston (cuyo modelo tiene reversión de la media y no negatividad, es el mismo proceso que en el modelo CIR para la tasa corta).
