¿Cómo valorar las Swaptions con modelos de tipos cortos?

Question

He especificado un modelo (Lognormal) de tipos de interés a corto plazo (no afín) bajo la medida de Riesgo-Neutral $Q$ como un vasicek exponencial desplazado:

$ r(t) = e^{y(t)} + \phi(t)\\ \text{with} \quad dy(t) = \kappa(\theta - y(t))dt + \sigma_y dW(t)$

donde $\phi(t)$ es un desplazamiento basado en los parámetros de $y$ .

Puedo calcular los precios de los bonos ZC con el modelo de tipos cortos, a partir del cual puedo obtener los tipos a plazo. Quiero utilizarlo para fijar el precio de los derivados financieros, en particular de los Swaptions.

1) Siguiendo Privault Proposición 14.6, el precio de una Swaption europea viene dado por $P(t,T_i, T_j) \mathbb{\hat{E}}_{i,j} \Big[ (S(T_i, T_i, T_j) - K)^+ \vert \mathcal{F}_t \Big]$ es decir, la retribución esperada bajo el $(T_i, T_j)$ - Medida de avance, donde $S(\cdot)$ es el tipo de cambio. ¿Existe alguna forma de utilizar las simulaciones de MC, para simular este precio? O es la fijación de precios a través de Black la única opción (ya que simulamos Tasas distribuidas de forma Lognormal)

2) Entiendo que el $T$ -La Medida de Avance toma los Bonos ZC como numerario y por el Teorema de Girsanov la deriva del modelo de tasa corta cambia bajo la $T$ -Medida de avance. ¿Cómo sería posible especificar mi modelo de tasa corta bajo $T$ -¿Medida de avance?

Answer 1

Sé que ha pasado mucho tiempo pero me gustaría responder a esta pregunta para todas las personas que lleguen a partir de ahora. Espero que esté bien.

Dividamos el problema en dos partes principales. La primera es el cálculo del bono de cupón cero $P(t, T)$ . En este caso, se utiliza un modelo de tipo corto dado por la dinámica de los factores $dy(t)$ y la dinámica de los tipos cortos $r(t)$ . Como sabemos, los bonos de cupón cero vienen dados por:

$$ P(t, T) = \mathbb{E}_t^Q \left[ \exp \left( - \int_t^T r(s) ds \right) \right]. $$

Esta expectativa y, en consecuencia, el bono de cupón cero $P(t, T)$ puede resolverse analíticamente para muchos modelos de tipos cortos. Esto se suele conseguir resolviendo un sistema subyacente de ecuaciones diferenciales ordinarias de Riccati. Tendría que comprobar si este es el caso de su modelo de tipos cortos en particular. Sin embargo, si no es el caso, siempre se puede simular la dinámica de $y(t)$ utilizando una simulación de Monte Carlo y calcular la expectativa dada arriba numéricamente, pero eso no tiene mucho sentido ya que la principal motivación de los modelos de tipos cortos es que proporcionan expresiones analíticas para los bonos de cupón cero, evitando la necesidad de Monte Carlo sobre las simulaciones de Monte Carlo.

Ahora, una vez que tenemos los bonos de cupón cero $P(t, T)$ , pongamos el precio de un Swaption europeo. Por favor, observe que $P(t, T)$ podría obtenerse utilizando un modelo diferente, como el Modelo de Mercado Libor o el marco HJM.

Dado que una Swaption europea da al titular el derecho, pero no la obligación, de suscribir un Swap vainilla en una fecha futura, es importante calcular primero el precio de un Swap vainilla (se utiliza la palabra vainilla porque estoy considerando un swap de lo más sencillo, es decir, con un nocional igual a uno, intervalos de tiempo contiguos, etc.). El valor actual de este contrato viene dado por:

\begin {align} V_s(t) &= \mathbb {E}_t^Q \left [ \sum_ {i=1}^N D(t, T_{i+1}) \cdot \tau_i \cdot (L(T_i, T_i, T_{i+1}) - k) \right ] \end {align}

donde $T$ describe la estructura del tenor de las fijaciones y los pagos, es decir $0 \leq T_1 \leq T_2, \dots, T_N$ , $\tau_i = T_{i+1} - T_i$ , $D(t, T)$ es el factor de descuento y $L$ es el tipo Libor. Recordemos que el tipo Libor a plazo es una martingala bajo una medida específica:

$$ L(t, T, T + \tau) = \mathbb{E}_t^{T + \tau} \left[ L(T, T, T + \tau) \right] \quad \text{with } t \leq T. $$

Ahora, realizando un cambio de medida en la valoración del swap y utilizando el resultado dado anteriormente, obtenemos:

$$ V_s(t) = \sum_{i=1}^N P(t, T_{i+1}) \cdot \tau_i \cdot (L(t, T_i, T_{i+1}) - k). $$

Tenga en cuenta que el precio de un swap en el momento $t$ (fecha de valoración o fecha actual) puede valorarse en el momento t utilizando únicamente la estructura temporal de los tipos de interés observada en esa fecha. En particular, los valores de los swaps no se ven afectados por la dinámica de los tipos, sino sólo por sus niveles actuales.

Ahora, supongamos que en el Swaption europeo el titular tiene derecho a entrar en el Swap anterior en $T_1$ . Su valor en el momento $t = T_1$ está dada por:

$$ V_{es}(T_1) = \max(V_s(T_1), 0) = \left( V_s(T_1) \right)^+. $$

Entonces, su valor en el momento $t < T_1$ está dada por:

$$ V_{es}(t) = \mathbb{E}_t^Q \left[ D(t, T_1) \cdot V_{es}(T_1) \right] $$

Ahora, esta expectativa puede resolverse numéricamente utilizando los resultados de una simulación de Monte Carlo y los resultados del modelo de tipo corto para los bonos cupón cero $P(t, T)$ .

Por otro lado, se podría utilizar el truco de Jamshidian en este punto en el que se obtiene que el pago de Swaption viene dado por $N+1$ opciones de venta de bonos de cupón cero. Sin embargo, como la expectativa sobre este pago no puede ser tratada analíticamente, hay que resolverla numéricamente o hacer una aproximación. Si lo desea, puedo explicar esto con más detalle.

Espero que esto ayude, ¡gracias!