Notación de corchetes en las SDE

Question

A menudo me encuentro con la siguiente notación en mi script, y no la he encontrado en ningún otro sitio. Aunque nuestro profesor insiste en que es de suma importancia escribir de esta manera en sus exámenes, aún no explicó por qué...

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Configurar

De un movimiento browniano geométrico $$dX_t = \mu X_tdt+\sigma X_t dW_t$$ aplicar Ito a $$f(X_t,t) = ln X_t =: Y_t$$ y obtener

$$dY_t = \frac{1}{X_t}dX_t - \frac{1}{2X_t^2}d[X]_t$$

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Pregunta real

¿Por qué está X en corchetes en el segundo término de la RHS?

¿Cuál es la base específica para escribir de esta manera, y en qué se diferencia de otras notaciones?

Todos los textos con los que he trabajado hasta ahora (finanzas puras, excepto Oksendal) podían funcionar sin esto. ¿Qué me falta aquí?

Agradezco su ayuda.

Answer 1

Esto es para añadir a la respuesta de @BKay. Aquí hay algunos ejemplos que pueden ayudar a ver lo que está sucediendo cuando un banco hace un préstamo.

El balance de un banco

La imagen siguiente es un texto extraído del libro de texto de Greg Mankiw Macroeconomía (7ª edición, p. 555). Esta es una versión simplificada del balance típico de un banco. Obsérvese que las reservas, los préstamos y los valores se consideran activos y que los depósitos, la deuda y el patrimonio neto se consideran pasivos.

¿Qué ocurre cuando ingreso dinero en un banco?

Ahora, consideremos primero lo que sucede cuando alguien deposita dinero en este banco. Por ejemplo, supongamos que alguien deposita $10. The new money goes to the vault which may then be deposited in the bank's account at the Federal Reserve (the central bank). This is a new asset. At the same time, the new deposit is a new liability. All together, this will increase the reserves of the bank by$ 10 y los depósitos por $10. Both the assets and liabilities of the bank increased by$ 10.

¿Qué ocurre cuando un banco concede un préstamo?

Ahora bien, ¿qué ocurre cuando un banco concede un préstamo? Supongamos que un banco hace un préstamo a alguien por $10. In the picture, it's clear that this will increase the amount of loans from$ de 500 a 510 dólares. Ahora, recuerda que los préstamos se consideran activos. Es decir, el prestatario tiene la obligación de devolver el dinero al banco.

Pero, ¿de dónde saldrá el dinero? Pueden ocurrir varias cosas. Un ejemplo de lo que podría ocurrir es lo siguiente. El banco podría utilizar sus reservas. En este caso, las reservas bajarían de $200 to$ 190. Sin embargo, en un sistema de reserva fraccionaria, los bancos tienen requisitos de reserva. La relación entre las reservas y los depósitos debe mantenerse por encima de un determinado porcentaje. En términos más realistas, los préstamos podrían aumentar en $11 (because of interest), reserves down by$ 10, y el patrimonio de los propietarios sube en 1$.

(Sin embargo, creo que a menudo un banco puede conceder el préstamo pero vender inmediatamente el nuevo activo a otra parte, quedándose sólo con una pequeña parte).

Los beneficios de la banca de reserva fraccionaria

Los economistas suelen estar de acuerdo en que el sistema de reserva fraccionaria añade cierta inestabilidad a la economía. Sin embargo, también aporta muchos beneficios. Existe una amplia literatura sobre las compensaciones y las numerosas funciones de la banca (de reserva fraccionaria) en general. (Una de las funciones económicas más importantes es que nos permite suavizar mejor las crisis de liquidez. Véase un importante artículo de Diamond y Dybvig).

Simplemente, hay demasiadas cosas que se pueden explicar aquí. Podrías considerar abrir una nueva pregunta que pida específicamente una lista de los beneficios resumidos. Además, consulte el libro Money and Banking de Mishkin (nivel universitario) o Microeconomía bancaria de Freixas y Rochet (nivel de postgrado, pero muy accesible).