¿Precios binarios de doble golpe?

Question

Estoy estudiando el precio de una opción binaria de doble barrera sobre el precio de $S$ . Con esto me refiero a una opción que paga $X$ al vencimiento $T$ si la parte inferior ( $H1$ ) o las barreras superiores ( $H2$ ) no son golpeados durante la vida de la opción.

Me dijeron que la valoración se podía hacer restando una cantidad de dinero (al vencimiento) o nada a $H2$ de un efectivo o nada golpeado en $H1$ . Es decir:

\begin {align*} \text {si} {será} \forall\ \ t \le T: S_{t}>H1) - (X\ \ \text {si} {será} \exists\ \ t \le T: S_{t}>H2) \end {align*}

Esta valoración me parece que tiene sentido porque estamos considerando todos los caminos que están por encima $H1$ y restando las trayectorias que quedaron por encima de $H2$ lo que sólo nos dejaría los caminos entre la barrera inferior y la superior.

Sin embargo tengo dudas al respecto ya que no encuentro esta forma de hacerlo en ningún sitio. ¿Hay algún error en ello?

He visto una fórmula para esto que implica algunas series infinitas y $sin(x)$ funciones, pero parece muy diferente a mi enfoque.

Se agradece la ayuda

Answer 1

Supongamos que $H_1 < S_0 < H_2$ dejar \begin {align*} \tau_1 = \inf\ {t: \, t>0 \text { y } S_t \le H_1 \}, \end {align*} y \begin {align*} \tau_2 = \inf\ {t: \, t>0 \text { y } S_t \ge H_2 \}. \end {align*} Entonces, el pago de la opción se define por \begin {align*} X\, \mathbb {I}_{\{ \tau_1 >T\}} \mathbb {I}_{\{ \tau_2 >T\} &= X\, \mathbb {I}_{\{ \tau_1 >T\}} \left (1- \mathbb {I}_{\{ \tau_2 \le T\}} \right ) \\ &=X\, \mathbb {I}_{\{ \tau_1 >T\} -X \ ~ -, \mathbb {I}_{\{ \tau_1 >T\}} \mathbb {I}_{\{ \tau_2 \le T\}} \\ &=X\, \mathbb {I}_{\{ \tau_1 >T\} -X \ ~ -, \left (1- \mathbb {I}_{\{ \tau_1 \le T\}} \right ) \mathbb {I}_{\{ \tau_2 \le T\}} \\ &=X\, \mathbb {I}_{\{ \tau_1 >T\} -X \ ~ -, \mathbb {I}_{\{ \tau_2 \le T\}+ X\, \mathbb {I}_{\{ \tau_1 \le T\}} \mathbb {I}_{\{ \tau_2 \le T\}} \\ &= (X\ \ \text {si} {será} \forall\ \ t \le T: S_{t}>H_1)- (X\ \N- \text {si} {será} \exists\ \ t \le T: S_{t}>H_2) \\ & \quad + (X\ \ \text {si} {será} \exists\ \ t_1 \le T \text { y } t_2 \le T: S_{t_1} \le H_1 \text { y } S_{t_2} \ge H_2). \end {align*}

Answer 2

Si usted se pone en corto con una opción de compra en la barrera superior y al mismo tiempo se pone en largo con una opción de compra en la barrera inferior, básicamente replica la barrera inferior en el escenario de la opción de doble barrera. Pero si su cartera larga-corta alcanza la barrera superior, el beneficio se bloquea en un nivel constante similar al de un spread alcista. Por el contrario, si la barrera superior es alcanzada por el spot en una opción de doble barrera, la opción se extingue completamente sin beneficio.

Siguiendo el gran libro de Espen "The complete guide to option pricing formulas", descubrimos en el capítulo 4.17.3, que una opción de barrera doble knock-out es lo mismo que ir en largo de una call plain vanilla y en corto de una call doble knock-in con los mismos niveles de strike, vencimiento y barrera. La valoración puede realizarse de la forma descrita en el libro.

Saludos,