¿Cuál es la precisión de las estimaciones de la desviación estándar con muestras pequeñas?

Question

Hoy me han pedido que "cuantifique" la precisión de una estimación de la desviación típica a partir de una pequeña muestra, y no he sabido responder.

El caso es bastante sencillo, tengo una muestra de $n=25$ medidas (devoluciones como habrás adivinado). Utilicé el clásico estimador insesgado para la desviación estándar:

$$\sigma_x = \sqrt{\frac{1}{N-1}\sum_{n=1}^n (x_i-\bar{x})^2}$$

La pregunta subyacente era: ¿cuántos datos necesitamos para que la desviación estándar sea estadísticamente significativa?

Leo aquí que el cálculo del error estándar de la desviación estándar es difícil de estimar, pero quería saber si hay un procedimiento común utilizado por ustedes en general?

Answer 1

Tratar la estimación de la desviación estándar como una variable aleatoria. A continuación, puede realizar un "boottap" de la estimación de la muestra y generar las estadísticas t y los intervalos de confianza asociados para sus estadísticas. Describo un proceso genérico de boostrap en este Correo electrónico: .

Answer 2

En realidad, debería interesarle el teorema de Berry Essen, que precisa la tasa de convergencia del teorema central del límite.

Dado i.i.d. $X_1,\dots, X_n \sim X$

1) GLN : asumiendo $E(X)<\infty$ entonces $\overline{X}_n-E(X)\to 0 $

2) CLT ("tasa" de la GLN) : suponiendo que $E(X^2)<\infty$ entonces $\frac{\sqrt{n}}{\sigma^2} \big(\overline{X}_n-E(X)\big)\to N(0,1) $

3) Berry Essen ("tasa" del CLT) : asumiendo $E(X^3)<\infty$ entonces

$\sup_{x\in \mathbb{R}}\bigg| \,F_{\frac{\sqrt{n}}{\sigma^2} \big(\overline{X}_n-E(X)\big)}(x) - F_{N_{0,1}}(x) \bigg| \leq \frac{0.34445 E|X|^3 + 0.16844}{\sqrt{n}}$

Dónde $F_{}$ se mantiene para la FCD.

Se trata de un límite superior (del orden $\sqrt{n}$ ) utilizable para su aproximación CLT.