He reconstruido cuidadosamente todos los cálculos que conducen a la fórmula de valoración de opciones de Heston para una opción de compra. He llegado a esta fórmula para las probabilidades "ajustadas"
$$ P_j\left(x,v,T;\ln K\right) = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\phi}{2\,\pi}\,\frac{e^{-i\,\phi\,\ln\left(K\right)}\,f_j\left(x,v,T;\phi\right)}{i\,\phi}\,d\phi $$
mientras que en el documento original y en todos los libros de texto la fórmula final se expresa como
$$ P_j\left(x,v,T;\ln K\right) = \frac{1}{2}+\int_{0}^{\infty}\frac{d\phi}{\pi}\,\text{Re}\left(\frac{e^{-i\,\phi\,\ln\left(K\right)}\,f_j\left(x,v,T;\phi\right)}{i\,\phi}\,\right)d\phi. $$
Entiendo que, si $f_j\left(x,v,T;\phi\right)$ es tal que
$$ f_j\left(x,v,T;-\phi\right) = \bar{f_j}\left(x,v,T;\phi\right)\quad(1) $$
(donde una barra indica el complejo conjugado) entonces tenemos inmediatamente que
$$ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\phi}{2\,\pi}\,\frac{e^{-i\,\phi\,\ln\left(K\right)}\,f_j\left(x,v,T;\phi\right)}{i\,\phi}\,d\phi = \int_0^\infty\frac{d\phi}{\pi}\,\text{Re}\left(\frac{e^{-i\,\phi\,\ln\left(K\right)}\,f_j\left(x,v,T;\phi\right)}{i\,\phi}\,\right)d\phi. $$
Mi problema es, pues, doble. En primer lugar, no puedo ver en la definición de $f_j\left(x,v,T;\phi\right)$ que se cumpla la propiedad (1) (tampoco he encontrado ningún tipo de discusión en otros libros de texto) y, en segundo lugar, aunque se demuestre (1) echo en falta la $\frac{1}{2}$ que aparece en la fórmula de Heston.
Cualquier ayuda será muy apreciada.
