¿Hay una explicación intuitiva para el Teorema de Feynman-Kac?

Question

El teorema de Feynman-Kac establece que para un proceso Ito de la forma $$dX_t = \mu(t, X_t)dt + \sigma(t, X_t)dW_t$$ existe una función medible $g$ tal que $$g_t(t,x) + g_x(t, x) \mu(t,x) + \frac{1}{2} g_{xx}(t,x)\sigma(t,x)^2 = 0$$ con una condición de frontera apropiada $h$: $g(T,x) = h(x)$. También sabemos que $g(t, x)$ tiene la forma $$g(t,x)=\mathbb{E}\left[h(X_T) \big| X_t=x\right].$$

Esto significa que puedo valorar una opción con función de pago $h(x)$ en $T$ al resolver la ecuación diferencial sin tener en cuenta el proceso estocástico.

¿Existe una explicación intuitiva de cómo es posible modelar el comportamiento estocástico del proceso Ito mediante una ecuación diferencial, a pesar de que la ecuación diferencial no tiene un componente estocástico?

Answer 1

Martingales + Markovian

Aquí está la motivación. Las expectativas condicionales son martingalas gracias a la propiedad de la torre de las expectativas condicionales (un ejercicio fácil de demostrar). Supongamos que $r=0$, por el teorema de fijación neutra al riesgo $E^\star\left[h(X_T)\bigg|\mathscr{F}_t,\,X_t=x\right]$ es el precio de cualquier seguridad derivada con $X$ como activo subyacente y función de pago $h$, asumiendo por el momento que tanto el activo subyacente como el derivado no pagan flujos de efectivo intermedios. En un entorno markoviano, debe ser el caso que el precio del derivado sea una función mensurable solo del precio actual del activo y el tiempo hasta el vencimiento, digamos una función $g(t, x)$. Luego, por el lema de Ito $d(g(t, x))=\ldots$. Debido a que $g$ es una (desplazada) martingala, el término de deriva debe ser igual a cero. La condición de contorno proviene de la no arbitraje, se ve esto notando qué es $g(T, x)$ desde la definición dada al principio (recordando la mensurabilidad al tomar la expectativa condicional).

Answer 2

El teorema de Feynman-Kac tiene principalmente sentido en un contexto de precios. Si sabes que alguna función resuelve la ecuación de Feynman-Kac, puedes representar su solución como una Expectativa con respecto al proceso. (consulta este documento)

Por otro lado, una función de precios resuelve la FK-PDE. Por lo tanto, a menudo se intentaría resolver la PDE para obtener una fórmula de precios en forma cerrada. (consulta este documento a partir de la página 22)

No usarías el Feynman-Kac para simular un proceso estocástico. Por otro lado, puedes usar un proceso estocástico para encontrar una solución a la FK-PDE (ver aquí)

Edit 26.02.2014: Encontré un documento que intenta explicar la conexión entre la densidad de transición y la FK-PD (ver aquí a partir de la página 5)

También hay una conexión entre la fórmula de FK y las ecuaciones de Sturm-Liouville que se pueden usar para la descomposición de las trayectorias brownianas. (ver este artículo)

Answer 3

La forma en que lo pienso es que la EDP describe el flujo de una distribución de probabilidad dependiente del tiempo. El proceso estocástico describe realizaciones individuales (caminatas aleatorias con una deriva), pero si ejecutaras un gran número de ellas, construirías una distribución.

La EDP dice cómo cambia esa distribución en el tiempo (primer término) debido a la deriva determinista (el segundo término) y la difusión (el tercer término, que es el enlace entre 'muchos caminantes aleatorios' y la distribución de probabilidad en expansión que describe cuán lejos han llegado, en promedio). Por lo general, la distribución de probabilidad comienza como una función delta debido a la condición inicial conocida.

Answer 4

Vamos a abordar esta respuesta en dos pasos.

Primero, encuentro bastante intuitivo que para una EDP estocástica dada exista una EDP determinista que evoluciona la densidad a un tiempo posterior. Esta ecuación es la ecuación de Kolmogorov o Fokker-Planck hacia adelante. ¿Por qué es intuitivo? Uno también conoce la distribución futura de un movimiento Browniano (por definición), ¿por qué debería cambiar esto para un término estocástico más complejo?

Segundo, una vez que obtienes la ecuación hacia adelante, es cuestión de matemáticas derivar también una versión inversa en el tiempo. Esta es la ecuación de Feynman-Kac, y propaga una distribución hacia atrás en el tiempo.