En primer lugar, con Black-Scholes tenemos el método habitual para transformar el precio del activo descontado en un martingala: Dejemos que el precio del activo $S_t$ ser gobernador por $$ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t, $$ así que \begin {align*} d(e^{-rt}S_t) & = -re^{-rt}S_tdt + e^{-rt} \left ( \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \right ) \\ & = \sigma e^{-rt}S_t \left ( \frac { \mu - r}{ \sigma }dt + dW_t \right ). \end {align*} Establecer $\gamma = \frac{\mu - r}{\sigma}$ y que $\tilde{W}_t = W_t + \gamma t$ , a $\mathbb{Q}$ -BM. Obtenemos entonces que nuestro proceso de precios de activos descontados es un $\mathbb{Q}$ -martingale, y podemos empezar a valorar las opciones: $$ d(e^{-rt}S_t) = \sigma e^{-rt}S_t d\tilde{W}_t. $$
Ahora bien, ¿qué pasa si el precio del activo está gobernado por alguna otra SDE, por ejemplo, un proceso de reversión de la media dado por la SDE $$ dS_t = \kappa(\theta - S_t)dt + \sigma dW_t. $$ Siguiendo el mismo método anterior, obtengo \begin {align*} d(e^{-rt}S_t) & = -re^{-rt}S_tdt + e^{-rt} \left ( \kappa ( \theta - S_t)dt + \sigma dW_t \right ) \\ & = e^{-rt} \left [( \kappa ( \theta - S_t) - rS_t)dt + \sigma dW_t \right ]. \end {align*} El problema aquí es que esta SDE para el precio descontado del activo no está en términos del propio precio descontado, es decir, no hay una $e^{-rt}S_t$ multiplicando el RHS. Por lo tanto, incluso utilizando la solución de forma cerrada para $S_t$ y dejar que $\gamma = \frac{\kappa(\theta - S_t) - rS_t}{\sigma}$ (de nuevo $\tilde{W}_t = W_t + \gamma t$ ), obtenemos $$ d(e^{-rt}S_t) = \sigma e^{-rt}\tilde{W}_t, $$ que no es una martingala en la variable $e^{-rt}S_t$ según sea necesario. ¿Existe un marco para este tipo de procesos de reversión de la media?
