En primer lugar, con Black-Scholes tenemos el método habitual para transformar el precio del activo descontado en un martingala: Dejemos que el precio del activo StSt ser gobernador por dSt=μStdt+σStdWt,dSt=μStdt+σStdWt, así que \begin {align*} d(e^{-rt}S_t) & = -re^{-rt}S_tdt + e^{-rt} \left ( \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t \right ) \\ & = \sigma e^{-rt}S_t \left ( \frac { \mu - r}{ \sigma }dt + dW_t \right ). \end {align*} Establecer γ=μ−rσγ=μ−rσ y que ˜Wt=Wt+γt~Wt=Wt+γt , a Q -BM. Obtenemos entonces que nuestro proceso de precios de activos descontados es un Q -martingale, y podemos empezar a valorar las opciones: d(e−rtSt)=σe−rtStd˜Wt.
Ahora bien, ¿qué pasa si el precio del activo está gobernado por alguna otra SDE, por ejemplo, un proceso de reversión de la media dado por la SDE dSt=κ(θ−St)dt+σdWt. Siguiendo el mismo método anterior, obtengo \begin {align*} d(e^{-rt}S_t) & = -re^{-rt}S_tdt + e^{-rt} \left ( \kappa ( \theta - S_t)dt + \sigma dW_t \right ) \\ & = e^{-rt} \left [( \kappa ( \theta - S_t) - rS_t)dt + \sigma dW_t \right ]. \end {align*} El problema aquí es que esta SDE para el precio descontado del activo no está en términos del propio precio descontado, es decir, no hay una e−rtSt multiplicando el RHS. Por lo tanto, incluso utilizando la solución de forma cerrada para St y dejar que γ=κ(θ−St)−rStσ (de nuevo ˜Wt=Wt+γt ), obtenemos d(e−rtSt)=σe−rt˜Wt, que no es una martingala en la variable e−rtSt según sea necesario. ¿Existe un marco para este tipo de procesos de reversión de la media?
