Supongamos que $f(x,a)=\max[g(x,a),h(x,a)]$ y $x^{}=\arg\max_{x}f(x,a)$ . Además, deja que $x_1(a)=\arg\max_{x}g(x,a)$ y $x_2(a)=\arg\max_{x}h(x,a)$ .
Si ambos $x'_1(a)$ y $x'_2(a)$ son no negativas, ¿bajo qué condiciones es $\frac{dx^}{da}\ge 0$ ?
Respuesta
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henrikpp
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Como ha señalado Jesper Hypel en un comentario, no es necesario que exista el derivado. En realidad, la función $a\mapsto x^*(a)$ ni siquiera tiene que ser decreciente. He aquí un ejemplo: Sea $g$ y $h$ sea dada por $g(x,a)=-(a-x)^2$ y $h(x,a)=a-(a-1-x)^2$ respectivamente. Entonces $x_1(a)=a$ y $x_2(a)=a-1$ . Además, $f\big(x^*(a),a\big)=g\big(x_1(a),a\big)$ para $a<0$ y $f\big(x^*(a),a\big)=h\big(x_2(a),a\big)$ para $a>0$ . En consecuencia, la función $a\mapsto x^*(a)$ salta hacia abajo después de $0$ .
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Creo que esto es mejor preguntarlo en las matemáticas. Intuitivamente supongo que la derivada debe ser no negativa si existe. La pregunta es dónde existe. Los lugares donde puede no existir son aquellos en los que las dos funciones g(x,a) y h(x,a) pasan de ser una mayor que la otra. Así que una condición sería que g(x,a) sea en todas partes mayor que h(x,a). Pero esa condición es probablemente demasiado fuerte para ti. Las condiciones que quieras imponer pueden depender del problema económico que estés tratando de modelar. Así que quizá sólo tú puedas responder a la pregunta...