Estoy leyendo la explicación de MWG en el capítulo 3 cuando muestra que la relación de preferencia continua implica la existencia de una función de utilidad continua.
En primer lugar, los autores muestran $u(.)$ es continua utilizando la definición de que la imagen bajo $u(.)$ de una secuencia convergente es convergente. Consideremos una secuencia $x_n\rightarrow x$ . Primero afirman que $u(x_n)$ debe tener una subsecuencia convergente.
Entiendo el panorama general: Desde $x_n$ converge a x, para algún N grande, $u(x_n)$ deben estar todas en algún conjunto compacto, y cualquier secuencia infinita en un conjunto compacto debe tener una subsecuencia convergente.
La parte que me cuesta es cuando utilizan la monotonicidad para mostrar este conjunto compacto. El extracto exacto es:
"Por monotonicidad, para cualquier $\epsilon>0$ , $\alpha(x')$ se encuentra en un subconjunto compacto de $\mathbb{R_+}$ , [ $\alpha_0,\alpha_1$ ], para todos los $x'$ tal que $\parallel x'-x\parallel$$\leq0 $."
Aquí he utilizado $u(.)$ y $\alpha(.)$ indistintamente para representar la función de utilidad. ¿Puede alguien explicar la afirmación anterior con un poco más de detalle, por favor?
Entiendo que la monotonicidad implica la no relación local, por lo tanto, en cualquier bola pequeña dada, siempre tienes algún paquete que prefieres que a x. Parte de mi confusión viene de la Figura que presentan, que es que ponen el paquete x en la curva de indiferencia ( $\{y\in X:y\sim x$ }). Pero, ¿no es $\alpha(x')$ en la línea diagonal Z?
Por favor, ayuda. Gracias.
