Integración en la SDE de Hull-White

Question

Estoy atascado en la resolución de la SDE en el modelo de tipos de interés de Hull-White. No tengo una formación profunda en matemáticas (sólo Análisis Real durante mis dichosos años de licenciatura), por lo que estoy teniendo problemas para entender el proceso de integración en la resolución explícita de la SDE de Hull-White.

Así, el modelo de interés de Hull-White sigue la SDE $$ dR(u) = (a(u) - b(u) R(u)) du + \sigma(u) d\tilde{W}(u) $$ Dice que la solución explícita se puede obtener aplicando el Lemma de Ito a $$ e^{\int_0^u b(v) dv} R(u) $$ e integrando ambas partes.

Aquí es donde tengo problemas para entender. $$ \int_t^T d\left(e^{\int_0^u b(v) dv} R(u)\right) = e^{\int_0^T b(v) dv} R(T) - e^{\int_0^t b(v) dv} R(t) $$ Es parece que estamos sustituyendo ingenuamente $u$ con $T$ en el primer término y con $t$ en la segunda legislatura. ¿Podríamos simplemente hacer esto debido al teorema fundamental del Cálculo? ¿O existe algún otro mecanismo de funcionamiento entre bastidores?

Answer 1

Aplicando el lema de Itô a $$ Y_t := e^{\int_0^t b(v) dv} r_t $$

Usted obtiene \begin{align} dY_t &= b(t) e^{\int_0^t b(v) dv} r_t dt + e^{\int_0^t b(v) dv} dr_t + 0\\ &= e^{\int_0^t b(v) dv} (b(t) r_t dt + dr_t) \\ &= e^{\int_0^t b(v) dv} (a(t) dt + \sigma(t) dW_t) \end{align} donde la última línea se obtiene utilizando el hecho de que $$ dr_t = (a(t)-b(t)r_t) dt + \sigma(t) dW_t $$

Su pregunta se refiere a la integración de la LHS, así que es simplemente dada por \begin{align} \int_t^T dY_u &= Y_T - Y_t \\ &= e^{\int_0^T b(v) dv} r_T - e^{\int_0^t b(v) dv} r_t \end{align}

Para el lado derecho, se obtiene $$ \int_t^T e^{\int_0^u b(v) dv} (a(u) du + \sigma(u) dW_u) = \int_t^T a(u) e^{\int_0^u b(v) dv} du + \int_t^T \sigma(u) e^{\int_0^u b(v) dv} dW_u $$ que realmente no se puede simplificar mucho más.

Para obtener la solución de la ecuación original, trabaja a partir de aquí utilizando el hecho de que $$r_t := e^{-\int_0^t b(v) dv} Y_t $$

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[Observación]

$$ \int_0^t dY_u = (Y_t - Y_0) $$

es simplemente una consecuencia de cómo definimos integrales estocásticas para empezar (ya sea Ito o Stratonovich). Asumiendo el formalismo de Itô, para un integrando suficientemente bien comportado $\psi_t$ y un semi-martingale $X_t$ la integral estocástica se escribe $$ I_t := \int_0^t \psi_u dX_u = \lim_{\Vert P \Vert \rightarrow 0} \sum_{i=1}^N \psi_{t_{i-1}} (X_{t_i}-X_{t_{i-1}}) $$ donde el límite (cuando existe) se toma en el sentido cuadrático medio, como la partición $P = \{ 0=t_0 < \dots < t_N=t \}$ se afina cada vez más (el intervalo máximo $t_{i}-t_{i-1}$ tiende a 0).

En su caso, basta con sustituir $\psi_t$ por $1$ para ver eso: $$ I_t = \int_0^t dX_u = \lim_{\Vert P \Vert \rightarrow 0} \sum_{i=1}^N X_{t_i}-X_{t_{i-1}} = X_t - X_0 $$ debido a la suma telescópica, como en el cálculo ordinario.