Estoy atascado en la resolución de la SDE en el modelo de tipos de interés de Hull-White. No tengo una formación profunda en matemáticas (sólo Análisis Real durante mis dichosos años de licenciatura), por lo que estoy teniendo problemas para entender el proceso de integración en la resolución explícita de la SDE de Hull-White.
Así, el modelo de interés de Hull-White sigue la SDE $$ dR(u) = (a(u) - b(u) R(u)) du + \sigma(u) d\tilde{W}(u) $$ Dice que la solución explícita se puede obtener aplicando el Lemma de Ito a $$ e^{\int_0^u b(v) dv} R(u) $$ e integrando ambas partes.
Aquí es donde tengo problemas para entender. $$ \int_t^T d\left(e^{\int_0^u b(v) dv} R(u)\right) = e^{\int_0^T b(v) dv} R(T) - e^{\int_0^t b(v) dv} R(t) $$ Es parece que estamos sustituyendo ingenuamente $u$ con $T$ en el primer término y con $t$ en la segunda legislatura. ¿Podríamos simplemente hacer esto debido al teorema fundamental del Cálculo? ¿O existe algún otro mecanismo de funcionamiento entre bastidores?
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¿Qué se obtiene al aplicar el lema de Ito?
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@Dark El exponencial sobrevive, mientras que anula el $b(u)$ deriva en la SDE original.
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No entiendo cómo te has encontrado con semejante integral aplicando el lema de Ito e integrando ambos lados. ¿Podrías dar más detalles sobre tus cálculos?
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Deberías conseguirlo: $dY_t = e^{\int_0^t b(v) dv} ( a(t) dt + \sigma(t) dW_t)$ con $Y_t = e^{\int_0^t b(v) dv} r_t $ tras aplicar Itô a $Y_t = f(t,r_t)$ con $r_t$ solución única de la SDE $dr_t = (a(t)-b(t)r_t)dt + \sigma(t)dW_t$ . A partir de ahí debe integrar ambos lados volver a $r_t$ utilizando el hecho de que $r_t = Y_t e^{-\int_0^t b(v) dv}$ y $r_0=Y_0$ .
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@Quantuple Quizá debería haber sido más específico al hacer la pregunta. La integral anterior es el resultado de integrar el LHS, o $\int_t^T d(e^{\int_0^u b(v) dv} R(u))$ . Y perdón por la errata.