Cálculo de la cartera de mercado a partir de la frontera eficiente

Question

Tengo una frontera específica de la cartera. ¿Puede alguien proporcionarme detalles sobre cómo puedo calcular la cartera de mercado a partir de la frontera eficiente? Sé que tengo que trazar la línea tangente desde el activo libre de riesgo, pero ¿cómo? ¿hay alguna fórmula específica para calcular el activo libre de riesgo? Cualquier ayuda será agradecida.

Answer 1

Como ya dijo @stans en los comentarios a su pregunta, la existencia de la cartera de mercado depende de la existencia de una tasa libre de riesgo $r_f$ , donde sin riesgo , en este contexto, significa que su valor puede ser perfectamente contratado para el horizonte de rentabilidad correspondiente, por ejemplo, se obtendrá con probabilidad esa tasa durante 1 mes o 1 año. En teoría, también debemos poder prestar y/o pedir prestado a ese mismo tipo libre de riesgo.

Por el bien del argumento, supongamos que usted ha consultado el Tipos LIBOR o cualquier otro panel de tipos interbancarios para los tipos libres de riesgo pertinentes.*

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¿Qué implica la condición de tangencia?

Dibuja una línea desde el $0,r_f$ punto en su diagrama tal que sea tangente a su frontera eficiente. Sin conocer el punto de mercado ab initio, llamemos a ese punto $M$ y denotamos su rentabilidad esperada y su volatilidad como $\mu_m$ y $\sigma_M$ .

Teniendo en cuenta este punto (aún desconocido), la fórmula de la línea de mercado de capitales $L$ es:

$$ \mu_L=r_f+\frac{\mu_M-r_f}{\sigma_M}\sigma $$

es decir, si $\sigma = \sigma_M$ la línea está en el punto de mercado y tiene un rendimiento esperado de $\mu_L=\mu_M$ . Además, dado cualquier vector de pesos de inversión $\mathbb{w}$ el vector de rentabilidad esperada de los activos $\mathbb{\mu}$ y la matriz de covarianza de los activos $\mathbb{\Sigma}$ El rendimiento esperado de nuestra cartera es:

$$ \mu_p(\mathbb{w})=r_f + \left(\mathbb{\mu}-\mathbb{1}r_f\right)^T\mathbb{w} \qquad $$ NB: Con una tasa libre de riesgo en la mezcla, nosotros podría añadirlo a nuestra cartera (aunque en la frontera eficiente su peso se fija simplemente en cero).

... y la volatilidad de nuestra cartera es: $$ \sigma_p(\mathbb{w})=\left(\mathbb{w}^T\mathbb{\Sigma}\mathbb{w}\right)^{\frac{1}{2}} $$

En el punto de tangencia ( punto de mercado ) la pendiente de la línea del mercado de capitales $L$ y la pendiente de la frontera eficiente (en la cartera $p$ ) son iguales, es decir

$$ \left.\frac{\partial \mu_L}{\partial \sigma}\right|_M=\left.\frac{\partial \mu_p}{\partial \sigma_p}\right|_{M} $$ Escribamos esto (suprimiendo el $M$ ):

$$ \frac{\mu_M-r_f}{\sigma_M}=\frac{\partial \mu_p}{\partial \mathbb{w}}\bigg/\frac{\partial \sigma_p}{\partial \mathbb{w}} \Leftrightarrow \frac{\mu_M-r_f}{\sigma_M}\frac{\partial \sigma_p}{\partial \mathbb{w}}=\frac{\partial \mu_p}{\partial \mathbb{w}} $$

Desde cálculo matricial sabemos que $\frac{\partial}{\partial x}a^Tx=a$ y $\frac{\partial}{\partial x}x^TBx=Bx+B^Tx$ y en nuestro caso, debido a la simetría de $\mathbb{\Sigma}$ , $\frac{\partial}{\partial w}w^T\Sigma w =2\Sigma w$ . Así, podemos reordenar la condición de tangencia y encontrar:

$$ \frac{\mu_M-r_f}{\sigma_M}\frac{1}{\sigma(w)}\mathbb{\Sigma}w=\mathbb{\mu}-\mathbb{1}r_f $$

En $M$ la volatilidad de la cartera y la volatilidad del mercado coinciden, es decir $\sigma(w)\equiv \sigma_M$ . Por lo tanto, podemos resolver para $w$ como:

$$ w=\frac{\sigma_M^2}{\mu_M-r_f}\mathbb{\Sigma}^{-1}\left(\mathbb{\mu}-\mathbb{1}r_f\right) $$

Y como buscamos una cartera cuyas ponderaciones de activos sumen el 100%, introducimos la condición $\mathbb{1}^Tw=1$ , cediendo finalmente:

$$ \begin{align} w_M&=\frac{w}{\mathbb{1}^Tw}\\ &=\frac{\mathbb{\Sigma}^{-1}\left(\mathbb{\mu}-\mathbb{1}r_f\right)}{\mathbb{1}^T\mathbb{\Sigma}^{-1}\left(\mathbb{\mu}-\mathbb{1}r_f\right)} \end{align} $$

Esta es la fórmula del cartera de mercado derivada de la condición de tangencia. Nótese que también se puede llegar a este resultado utilizando un ansatz lagrangiano.

¿HORA DE LA VERDAD?

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* Nota: En la práctica, los tipos de las letras del tesoro también se consideran tipos libres de riesgo, ya que son los más libres de riesgo disponibles.

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Apéndice para un problema con restricciones de positividad

Si su problema está limitado por restricciones de no negatividad, $w_i\geq 0$ Un enfoque podría ser la formulación de un programa cuadrático con un objetivo de rentabilidad $m^*$ :

$$ \min \frac{1}{2} w^T\Sigma w \qquad s.t. \quad w_i \geq 0,\quad w^T(\mu-r_f)=m^* $$

A continuación, varía $m^*$ hasta $\sum w_i=1$ . Esto da como resultado su cartera de tangencia bajo restricciones de no negatividad.

En última instancia, podría utilizar su optimizador no lineal preferido y simplemente instrúyalo para maximizar el ratio de Sharpe s.t. la no negatividad y las restricciones de inversión completas....