¿Existe un equivalente a la volatilidad implícita utilizada cuando se trata de modelar la correlación en la valoración de opciones para múltiples activos, como las opciones arco iris (best-of/worst-of calls/put), o lo mejor que se puede hacer es modelar la correlación de muestra del mundo real de las series temporales de los activos (o algo más que no estoy considerando)? ¿Existe algún estándar de la industria para esto?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Amod Gokhale
Puntos
26
A continuación se muestra una boceto de cómo se pueden modelar múltiples subyacentes que están correlacionados entre sí, para luego fijar el precio de algunas opciones sobre ellos (es decir, opciones de spread). Agradezco cualquier comentario que pueda mejorar este esquema (siéntase libre de comentar o editar mi post).
Suponga que tiene un modelo multifactor, con dos activos, $X_1$ y $X_2$ . Supongamos que los dos activos siguen el GBM, donde $W_1$ y $W_1$ son independiente de la siguiente manera:
$$dX_1(t)=X_1(t)\mu_1 dt+X_1(t)\sigma_1 \lambda_{1,1} dW_1(t)+X_1(t)\sigma_1 \lambda_{1,2} dW_2(t)$$
$$dX_2(t)=X_2(t)\mu_2 dt+X_2(t)\sigma_2 \lambda_{2,1} dW_2(t)+X_2(t)\sigma_2 \lambda_{2,2} dW_2(t)$$
Arriba, $\lambda_{i,j}$ es la carga sobre cada movimiento browniano (es decir, la fuente de riesgo). Por el lema de Ito aplicado a $ln(X_1)$ y $ln(X_2)$ tenemos entonces..:
$$dln(X_1)=\left(\mu_1-0.5\sigma_1^2(\lambda_{1,1}^2+\lambda_{2,1}^2)\right)dt+\sigma_1 \lambda_{1,1} dW_1(t)+\sigma_1 \lambda_{1,2} dW_2(t)$$
Y
$$dln(X_2)=\left(\mu_2-0.5\sigma_2^2(\lambda_{2,1}^2+\lambda_{2,2}^2)\right)dt+\sigma_2 \lambda_{2,1} dW_2(t)+\sigma_2 \lambda_{2,2} dW_2(t)$$
Los dos activos estarían entonces correlacionados de la siguiente manera:
$$Cov(X_1,X_2)=\mathbb{E}\left[X_1X_2\right]-\mathbb{E}\left[X_1\right]\mathbb{E}\left[X_2\right]=f\left(\lambda_{1,1},\lambda_{1,2},\lambda_{2,1},\lambda_{2,2}\right)$$
Es decir, la covarianza es una función del $\lambda$ parámetros (con el $\sigma$ calibrándose por separado los precios de las opciones líquidas).
La correlación es entonces simplemente $Corr=\frac{Cov(X_1,X_2}{Var(X_1)^{0.5}Var(X_2)^{0.5}}$ (de nuevo, el Corr es una función del $\lambda$ parámetros).
Por lo tanto, al valorar una opción multiactivo, cada subyacente tendrá normalmente su propia volatilidad $\sigma_i$ que no tiene por qué ser constante: puede ser una función determinista de $t$ La parte complicada es entonces utilizar opciones líquidas en los subyacentes individuales para calibrar cada uno de los $\sigma_i$ para que el modelo anterior valore correctamente las opciones líquidas.
La correlación puede ser aún más complicada: se puede calcular una correlación histórica y se puede intentar elegir los parámetros $\lambda_{i,j}$ para que el histórico corr es igual al Corr cantidad en el modelo anterior. O bien (nunca he visto hacerlo, pero aparentemente es posible) se puede intentar extraer la cantidad implícita corr de las opciones de spreads líquidos.
Una vez calibrado el modelo, no es necesario realizar una prueba de Monte-Carlo para determinar el precio de una compensación del tipo $\mathbb{E}^{\mathbb{Q}}\left[\left(X_1(t)-X_2(t)\right)^+\right]$ .
